Aufgabe A2.2
(5 Punkte)
Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Ergebnis: ]
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
Gegeben: , ,
Die Punkte entstehen durch Spiegelung der Punkte an der Symmetrieachse .
Um die Spiegelungsmatrix anzuwenden, muss jedoch zuerst gezeigt werden, ob die Symmetrieachse eine Ursprungsgerade ist.
Ursprungsgerade
Eine Ursprungsgerade hat eine Gleichung der Form:
Es gilt:
Senkrechte Geraden
Stehen zwei Geraden
und
senkrecht aufeinander, so ergibt das Produkt der beiden Steigungen
:
Steigung einer Geraden
Die Steigung
einer Geraden
durch zwei Punkte
und
lässt sich wie folgt berechnen:
Sei der Mittelpunkt der Strecke , der auch auf der Geraden liegt.
Mittelpunkt einer Strecke
Der Mittelpunkt
einer Strecke
mit
und
ist gegeben durch:
Geradengleichung
Mit dem Punkt
und der Steigung
kann mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form
die Gleichung für
berechnet werden.
Die Symmetrieachse ist eine Ursprungsgerade.
Spiegelung
Ist
der Winkel, den die Spiegelungsgerade mit der x-Achse einschließt , so lautet die entsprechende Spiegelungsmatrix:
Nun muss noch
berechnet werden.
Die Gerade schließt mit der -Achse den Winkel ein.
Winkel berechnen
Der Winkel
, den eine Gerade
mit der
-Achse einschließt, wird mit folgender Gleichung berechnet:
Es gilt:
Spiegelung der Punkte an der Geraden :
=
Kosinus eines negativen Winkels
Sinus eines negativen Winkels
Sinus eines negativen Winkels:
Cosinus eines negativen Winkels:
=
=
Matrizenmultiplikation