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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.2  (5 Punkte)
Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten der Punkte C n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Ergebnis: C n ( - 0 , 20 x - 4 , 80 | - 1 , 10 x - 1 , 40 ) ]
 
Lösung zu Aufgabe A2.2

Spiegelung an einer Ursprungsgeraden
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Gegeben: A ( 5 | 2 , 5 ) , D ( - 1 | - 5 , 5 ) , B n ( x | 1 2 x + 5 )

Die Punkte C n entstehen durch Spiegelung der Punkte D n an der Symmetrieachse s .

Um die Spiegelungsmatrix anzuwenden, muss jedoch zuerst gezeigt werden, ob die Symmetrieachse s eine Ursprungsgerade ist.
Schritt einblenden / ausblenden
Es gilt: s [ A D ]
Schritt einblenden / ausblenden
m s m A D = - 1
Schritt einblenden / ausblenden
m A D = y D - y A x D - x A = - 5 , 5 - 2 , 5 - 1 - 5 = 4 3

m s 4 3 = - 1 | : 4 3

m s = - 3 4


Sei M der Mittelpunkt der Strecke [ A D ] , der auch auf der Geraden s liegt.
Schritt einblenden / ausblenden
M ( 5 - 1 2 | 2 , 5 - 5 , 5 2 ) M ( 2 | - 1 , 5 )
Schritt einblenden / ausblenden
y = m s ( x - x M ) + y M

y = - 3 4 ( x - 2 ) - 1 , 5

s : y = - 3 4 x

Die Symmetrieachse s ist eine Ursprungsgerade.
Schritt einblenden / ausblenden
Die Gerade s schließt mit der x -Achse den Winkel α ein.
Schritt einblenden / ausblenden
Es gilt: - 3 4 = tan α | tan - 1

α = - 36 , 87 | 2

2 α = - 73 , 74


Spiegelung der Punkte B n an der Geraden s :

( x y ) = ( cos ( - 73 , 74 ) sin ( - 73 , 74 ) sin ( - 73 , 74 ) - cos ( - 73 , 74 ) ) ( x 1 2 x + 5 )

Schritt einblenden / ausblenden
( x y ) = ( cos 73 , 74 - sin 73 , 74 - sin 73 , 74 - cos 73 , 74 ) ( x 1 2 x + 5 )

( x y ) = ( 0 , 28 - 0 , 96 - 0 , 96 - 0 , 28 ) ( x 1 2 x + 5 )

Schritt einblenden / ausblenden
x = 0 , 28 x - 0 , 96 ( 1 2 x + 5 ) = - 0 , 2 x - 4 , 8

y = - 0 , 96 x - 0 , 28 ( 1 2 x + 5 ) = - 1 , 1 x - 1 , 4

C n ( - 0 , 2 x - 4 , 8 | - 1 , 1 x - 1 , 4 )

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