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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.2  (4 Punkte)
Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte D n in Abhängigkeit von α und geben Sie die Gleichung des Trägergraphen t der Punkte D n an.
[Teilergebnis: D n ( 7 , 5 cos α + 1 | 5 , 75 ) ]
 
Lösung zu Aufgabe B2.2

Koordinaten von Punkten ermitteln
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Gegeben: B ( 5 | - 1 ) , C n ( 6 cos α + 4 , 5 | - 3 cos α + 6 ) , C n D n ¯ = 1 2 ⋅ B C n ¯

Gesucht: D n

Vorüberlegung: Wie kommt man von B nach D n ?
Schritt einblenden / ausblenden
C n B → = B → - C n →

= ( 5 - 1 ) - ( 6 cos α + 4 , 5 - 3 cos α + 6 ) = ( - 6 cos α + 0 , 5 3 cos α - 7 )


Drehung um - 90 ∘ :

( x ′ y ′ ) = ( cos ( - 90 ∘ ) - sin ( - 90 ∘ ) sin ( - 90 ∘ ) cos ( - 90 ∘ ) ) ∘ ( - 6 cos α + 0 , 5 3 cos α - 7 )
Schritt einblenden / ausblenden
( x ′ y ′ ) = ( cos 90 ∘ sin 90 ∘ - sin 90 ∘ cos 90 ∘ ) ∘ ( - 6 cos α + 0 , 5 3 cos α - 7 )

( x ′ y ′ ) = ( 0 1 - 1 0 ) ∘ ( - 6 cos α + 0 , 5 3 cos α - 7 )
Schritt einblenden / ausblenden
( x ′ y ′ ) = ( 3 cos α - 7 6 cos α - 0 , 5 )


Streckung mit dem Faktor 1 2 :

( x ′ ′ y ′ ′ ) = 1 2 ⋅ ( 3 cos α - 7 6 cos α - 0 , 5 ) = ( 1 , 5 cos α - 3 , 5 3 cos α - 0 , 25 )

Da nicht um den Ursprung gedreht wurde, muss noch das Drehzentrum C n aufaddiert werden:

( x ′ ′ ′ y ′ ′ ′ ) = ( 1 , 5 cos α - 3 , 5 3 cos α - 0 , 25 ) + ( 6 cos α + 4 , 5 - 3 cos α + 6 ) = ( 7 , 5 cos α + 1 5 , 75 )

⇒ D n ( 7 , 5 cos α + 1 | 5 , 75 )
Trägergraphen / Ortskurve bestimmen
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Da der y -Wert von D n die Konstante 5 , 75 ist, lautet die Gleichung für den Trägergraphen:

t : y = 5 , 75

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