Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik Mathematik I Aufgabe B2 Aufgabe 4

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik I Aufgabe B2

Aufgabe B2.4 (4 Punkte)

Das Viereck

A B C_{5} D_{5}

ist ein Trapez, wobei die Seite

[A D_{5}]

parallel zur Seite

[B C_{5}]

ist.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für

α

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zu Aufgabe B2.4

Winkel bestimmen

Gegeben:

A (0 | 0)

B (5 | - 1)

C_{n} (6 \cos α + 4, 5 | - 3 \cos α + 6)

D_{n} (7, 5 \cos α + 1 | 5, 75)

Steigung einer Geraden

Die Steigung

m

einer Geraden

A B

durch die Punkte

A (x_{A} | y_{A})

und

B (x_{B} | y_{B})

berechnet man mit der Formel:

m = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

m_{A D_{n}} = \frac{5, 75 - 0}{7, 5 \cos α + 1 - 0} = \frac{5, 75}{7, 5 \cos α + 1}

m_{B C_{n}} = \frac{- 3 \cos α + 6 - (- 1)}{6 \cos α + 4, 5 - 5} = \frac{- 3 \cos α + 7}{6 \cos α - 0, 5}

m_{A D_{n}} = m_{B C_{n}}

\frac{5, 75}{7, 5 \cos α + 1} = \frac{- 3 \cos α + 7}{6 \cos α - 0, 5}

|

über Kreuz multiplizieren

5, 75 \cdot (6 \cos α - 0, 5) = (7, 5 \cos α + 1) \cdot (- 3 \cos α + 7)

|

Klammern auflösen

34, 5 \cos α - 2, 875 = - 22, 5 \cos^{2} α + 52, 5 \cos α - 3 \cos α + 7

|

Zusammenfassen

22, 5 \cos^{2} α - 15 \cos α - 9, 875 = 0

Substitution:

z = \cos α

22, 5 z^{2} - 15 z - 9, 875 = 0

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

z_{1, 2} = \frac{- (- 15) \pm \sqrt{(- 15)^{2} - 4 \cdot 22, 5 \cdot (- 9, 875)}}{2 \cdot 22, 5}

z_{1} = - 0, 41

z_{2} = 1, 07

Resubstitution:

- 0, 41 = \cos α

|

\cos^{- 1}

\Rightarrow

α = 114, 20^{\circ}

(

z_{2} = 1, 07 = \cos α

ist nicht definiert, da der Kosinus eines Winkels immer höchstens 1 ist)

Lösungen zu:

Aufgabe B2.1

Aufgabe B2.2

Aufgabe B2.3

Aufgabe B2.4

Aufgabe B2.5

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel bestimmen

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