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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A1


 
Aufgabe A1.1  (5 Punkte)
Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p sowie die Koordinaten des Scheitelpunktes S .
Zeichnen Sie sodann die Parabel p und die Gerade g in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; - 6 ≦ x ≦ 7 ; - 3 ≦ y ≦ 11
[Teilergebnis: p : y = - x 2 + 6 x - 1 ]
 
Lösung zu Aufgabe A1.1

Funktionsgleichung ermitteln
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Gegeben:

Gerade g : y = 1 2 x - 1

P ( 0 | - 1 ) und Q ( 5 , 5 | 1 , 75 ) sind die Schnittpunkte der Geraden g mit einer nach unten geöffneten Normalparabel p .

Vorüberlegung: Welche Form hat eine nach unten geöffnete Normalparabel?
Schritt einblenden / ausblenden
y = - x 2 + b x + c

Die Punkte P und Q werden in die Parabelgleichung eingesetzt und man erhält ein Gleichungssystem:

(I) - 1 = 0 2 + b ⋅ 0 + c ⇔ c = - 1

(II) 1 , 75 = - 5 , 5 2 + b ⋅ 5 , 5 + c
Schritt einblenden / ausblenden
(II) 1 , 75 = - 5 , 5 2 + b ⋅ 5 , 5 - 1 | + 5 , 5 2 + 1

(II) 33 = 5 , 5 b | : 5 , 5

⇒ b = 6

⇒ p : y = - x 2 + 6 x - 1


Bestimmung des Scheitelpunktes:

Schritt einblenden / ausblenden
S ( - 6 2 ⋅ ( - 1 ) | - 1 - 6 2 4 ⋅ ( - 1 ) )

⇒ S ( 3 | 8 )
Skizze
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Parabel g (Wertetabelle oder Schablone hilfreich) und Gerade g einzeichnen:

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