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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2005 Mathematik II Aufgabe A1


 
Aufgabe A1.4  (4 Punkte)
Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet den Flächeninhalt A der Dreiecke A n B n C n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A n .
Überprüfen Sie sodann, ob es unter den Dreiecken A n B n C n ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von 22 FE gibt.
[Teilergebnis: A ( x ) = 2 , 60 ⋅ ( - x 2 + 5 , 5 x ) FE]
 
Lösung zu Aufgabe A1.4

Flächeninhalt eines Dreiecks
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Gegeben:

β = 120 ∘ , B n C n ¯ = 6 LE

A n ( x | 1 2 x - 1 ) , B n ( x | - x 2 + 6 x - 1 )
Schritt einblenden / ausblenden
A = 1 2 ⋅ A n B n ¯ ⋅ B n C n ¯ ⋅ sin β

A = 1 2 ⋅ A n B n ¯ ⋅ 6 ⋅ sin 120 ∘

A = 2 , 60 ⋅ A n B n ¯

Nun muss noch A n B n ¯ berechnet werden.
Schritt einblenden / ausblenden
A n B n ¯ = y B n - y A n

A n B n ¯ = - x 2 + 6 x - 1 - ( 1 2 x - 1 )

A n B n ¯ = - x 2 + 6 x - 1 - 1 2 x + 1

A n B n ¯ = - x 2 + 5 , 5 x

⇒ A ( x ) = 2 , 60 ⋅ ( - x 2 + 5 , 5 x ) FE


Überprüfen, ob es unter den Dreiecken A n B n C n ein Dreieck mit einem Flächeninhalt von 22 FE gibt:
Schritt einblenden / ausblenden
2 , 60 ⋅ ( - x 2 + 5 , 5 x ) = 22

- 2 , 60 x 2 + 2 , 60 ⋅ 5 , 5 x = 22 | - 22

- 2 , 60 x 2 + 2 , 60 ⋅ 5 , 5 x - 22 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
D = b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c

D = ( 2 , 60 ⋅ 5 , 5 ) 2 - 4 ⋅ ( - 2 , 60 ) ⋅ ( - 22 ) = - 24 , 31 < 0

⇒ Es gibt kein Dreieck mit einem Flächeninhalt von 22 FE.

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