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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.5  (4 Punkte)
Unter den Dreiecken A B n C n gibt es das Dreieck A B 5 C 5 , bei dem der Punkt C 5 auf der Gerade g liegt.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes C 5 und begründen Sie, dass das Dreieck A B 5 C 5 den kleinsten Flächeninhalt aller Dreiecke A B n C n besitzt.
 
Lösung zu Aufgabe A2.5

Koordinaten von Punkten ermitteln
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Gegeben:

C 5 ∈ g

g : y = - 2 x + 6

Trägergraph h der Punkte C n : y = - 1 3 x + 4
Schritt einblenden / ausblenden
- 2 x + 6 = - 1 3 x + 4 | + 1 3 x - 6

- 5 3 x = - 2 | : ( - 5 3 )

x = 1 , 2
Schritt einblenden / ausblenden
y = - 2 ⋅ 1 , 2 + 6 = 3 , 6

C 5 ( 1 , 2 | 3 , 6 )
Lagebeziehung von Vektoren
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Der Flächeninhalt der Dreiecke A B n C n ist minimal, wenn A C n ¯ minimal ist.

A C n ¯ ist minimal, wenn A C n → senkrecht auf h steht, also A C n → ⊥ h .

Schritt einblenden / ausblenden
A C n → ∘ v h → = 0 mit v h → als Richtungsvektor von h .
Schritt einblenden / ausblenden
A C n → ∘ ( - 3 1 ) = 0

A C n → = ( 3 x - 6 - x + 6 ) - ( 0 0 ) = ( 3 x - 6 - x + 6 )

( 3 x - 6 - x + 6 ) ∘ ( - 3 1 ) = 0

( 3 x - 6 ) ⋅ ( - 3 ) + ( - x + 6 ) ⋅ 1 = 0

- 9 x + 18 - x + 6 = 0

- 10 x + 24 = 0 | - 24

- 10 x = - 24 | : ( - 10 )

x = 2 , 4

Gegeben: C n ( 3 x - 6 | - x + 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
3 ⋅ 2 , 4 - 6 = 1 , 2 x -Wert von C 5

- 2 , 4 + 6 = 3 , 6 y -Wert von C 5

⇒ Das Dreieck A B 5 C 5 hat den kleinsten Flächeninhalt.

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