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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B1


 
Aufgabe B1.5  (4 Punkte)
Unter den Dreiecken P n Q n R gibt es das gleichschenklige Dreieck P 4 Q 4 R mit der Basis [ P 4 Q 4 ] und dem Basismittelpunkt M .
Zeichnen Sie das Dreieck P 4 Q 4 R in das Koordinatensystem zu 1.1 und berechnen Sie das Maß φ des Winkels P 4 R Q 4 . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
 
Lösung zu Aufgabe B1.5

Skizze
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Gegeben: P 4 Q 4 ¯ = 4 LE

Im gleichschenkligen Dreieck P 4 Q 4 R ist die Höhe [ R M ] auch Seitenhalbierende der Basis [ P 4 Q 4 ] .

⇒ P 4 M ¯ = M Q 4 ¯ = 2 LE
Schritt einblenden / ausblenden
Winkel bestimmen
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Im gleichschenkligen Dreieck P 4 Q 4 R ist die Höhe [ R M ] auch Winkelhalbierende von φ .

Deshalb betrachtet man das rechtwinklige Dreieck P 4 M R und versucht zuerst den Winkel P 4 R M = φ 2 zu berechnen.

Schritt einblenden / ausblenden
tan φ 2 = P 4 M ¯ R M ¯

tan φ 2 = 2 R M ¯

Nun muss noch R M ¯ berechnet werden.

R M ¯ = y R - y M = 5 - y M ( R ( 6 | 5 ) gegeben aus Angabe)

Wir wissen: x M = 6 ( = x R )

⇒ x P 4 = 6 - 2 = 4 | in P n ( x | log 3 ( x + 2 ) - 1 ) einsetzen

⇒ y P 4 = log 3 ( 4 + 2 ) - 1 = 0 , 63

⇒ y M = y P 4 = 0 , 63

Also: R M ¯ = 5 - y M = 5 - 0 , 63

⇒ tan φ 2 = 2 5 - 0 , 63 | tan - 1

⇒ φ 2 ≈ 24 , 59 ∘ | ⋅ 2

⇒ φ = 49 , 18 ∘

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