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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.6  (5 Punkte)
Im rechtwinkligen Dreieck A B 5 C 5 ist die Strecke [ B 5 C 5 ] die Hypotenuse.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von φ .
 
Lösung zu Aufgabe B2.6

Winkel bestimmen
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Gegeben:

A B n → = ( 3 cos φ - 2 3 ) , A C n → = ( 2 cos φ - 3 sin 2 φ ) , φ ∈ [ 0 ∘ ; 180 ∘ ]

Wenn die Strecke [ B 5 C 5 ] die Hypothenuse des Dreiecks ist, so liegt der rechte Winkel gegenüber beim Punkt A .

Deshalb stehen die Vektoren A B 5 → und A C 5 → senkrecht aufeinander, also A B 5 → ⊥ A C 5 → .
Schritt einblenden / ausblenden
A B 5 → ∘ A C 5 → = 0

( 3 cos φ - 2 3 ) ∘ ( 2 cos φ - 3 sin 2 φ ) = 0
Schritt einblenden / ausblenden
( 3 cos φ - 2 ) ⋅ ( 2 cos φ - 3 ) + 3 ⋅ sin 2 φ = 0 | Klammern auflösen

6 cos 2 φ - 4 cos φ - 9 cos φ + 6 + 3 sin 2 φ = 0
Schritt einblenden / ausblenden
6 cos 2 φ - 13 cos φ + 6 + 3 ( 1 - cos 2 φ ) = 0

6 cos 2 φ - 13 cos φ + 6 + 3 - 3 cos 2 φ = 0

3 cos 2 φ - 13 cos φ + 9 = 0

Substitution: cos φ = z

3 z 2 - 13 z + 9 = 0
Schritt einblenden / ausblenden
z 1 , 2 = 13 ± ( - 13 ) 2 - 4 ⋅ 3 ⋅ 9 2 ⋅ 3

⇒ z 1 ≈ 3 , 47 und z 2 ≈ 0 , 86

Resubstitution: cos φ = 3 , 47 und cos φ = 0 , 86

cos φ = 3 , 47 ist nicht definiert, da der Kosinus eines Winkels immer zwischen - 1 und 1 liegt.

cos φ = 0 , 86 | cos - 1
φ 1 ≈ 30 , 68 ∘ (und φ 2 = 329 , 32 ∘ ), da φ ∈ [ 0 ∘ ; 180 ∘ ]

⇒ φ = 30 , 68 ∘

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