Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik Mathematik I Aufgabe P2 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2006 Mathematik I Aufgabe P2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe P2.2 (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Streckenlängen

\bar{Q R_{n}}

in Abhängigkeit von

ε

gilt:

\bar{Q R_{n}} (ε) = \frac{2, 64}{\sin (40^{\circ} + ε)}

cm.
[Teilergebnis:

\bar{A S} = 10, 11

cm]

Lösung zu Aufgabe P2.2

Länge einer Strecke

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Gegeben:

∡ S C A = γ = 50^{\circ}

\bar{A C} = 6 \sqrt{2}

cm (aus Teilaufgabe 2.1)

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck

A C S

Hier kann

\bar{A S}

berechnet werden.

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan γ = \frac{\bar{A S}}{\bar{A C}}

|

\cdot \bar{A C}

\bar{A S} = \bar{A C} \cdot \tan γ

\bar{A S} = 6 \sqrt{2} \cdot \tan 50^{\circ}

\Rightarrow

\bar{A S} \approx 10, 11

cm

Außerdem kann im Dreieck

A C S

der Winkel

A S C

berechnet werden.

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

∡ A S C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ}

\bar{Q R_{n}}

berechnet werden soll, wird im Dreieck

S Q R_{n}

der Sinussatz verwendet.

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

\frac{\bar{Q R_{n}}}{\sin ∡ A S C} = \frac{\bar{Q S}}{\sin ∡ S R_{n} Q}

\frac{\bar{Q R_{n}}}{\sin 40^{\circ}} = \frac{\bar{Q S}}{\sin (180^{\circ} - (ε + 40^{\circ}))}

|

\cdot \sin 40^{\circ}

Sinus eines Winkels

\sin x = \sin (180^{\circ} - x)

\bar{Q R_{n}} = \frac{\sin 40^{\circ} \cdot 4, 11}{\sin (ε + 40^{\circ})}

(

\bar{Q S} = \bar{A S} - \bar{A Q} = 10, 11 - 6 = 4, 11

)

\Rightarrow

\bar{Q R_{n}} (ε) = \frac{2, 64}{\sin (40^{\circ} + ε)}

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Lösungen zu:

Aufgabe P2.1

Aufgabe P2.2

Aufgabe P2.3

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