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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.5  (5 Punkte)
Das Drachenviereck A B 3 C 3 D 3 hat unter den Drachenvierecken A B n C n D n den kleinstmöglichen Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Koordinaten des zugehörigen Diagonalenschnittpunkts M 3 und geben Sie den minimalen Flächeninhalt an.
 
Lösung zu Aufgabe A2.5

Lagebeziehung von Vektoren
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Der Flächeninhalt ist minimal, wenn A M n ¯ minimal ist.

A M n ¯ ist minimal, wenn A M n senkrecht auf g steht, also A M n g .
Aus Teilaufgabe 3:

M n A = ( 2 - x - 2 x - 4 )

A M n = - 1 ( 2 - x - 2 x - 4 ) = ( x - 2 2 x + 4 )
Schritt einblenden / ausblenden
( x - 2 2 x + 4 ) v g = 0 mit v g als Richtungsvektor von g .
Schritt einblenden / ausblenden
( x - 2 2 x + 4 ) ( 1 2 ) = 0

( x - 2 ) 1 + ( 2 x + 4 ) 2 = 0

x - 2 + 4 x + 8 = 0

5 x + 6 = 0 | - 6

5 x = - 6 | : 5

x = - 1 , 2
Schritt einblenden / ausblenden
y = 2 ( - 1 , 2 ) + 3 = 0 , 6

M 3 ( - 1 , 2 | 0 , 6 )
Flächeninhalt eines Drachenvierecks
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Gesucht: minimaler Flächeninhalt A des Drachenvierecks
Schritt einblenden / ausblenden
A m i n = 1 2 e f

A m i n = 1 2 A C 3 ¯ B 3 D 3 ¯

A m i n = 1 2 3 2 A M 3 ¯ A M 3 ¯

A m i n = 3 4 A M 3 ¯ 2

A M 3 = ( - 1 , 2 - 2 0 , 6 - ( - 1 ) ) = ( - 3 , 2 1 , 6 )
Schritt einblenden / ausblenden
A M 3 ¯ = ( - 3 , 2 ) 2 + 1 , 6 2 = 12 , 8

A m i n = 3 4 A M 3 ¯ 2

A m i n = 3 4 12 , 8 2 = 3 4 12 , 8 = 9 , 6 FE

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