Aufgabe B1.6
(4 Punkte)
Durch eine Verbesserung der Raketentechnik erhöht sich die Ausströmgeschwindigkeit auf . Eine Rakete mit dieser Raketentechnik hat nur noch der Startmasse der Rakete aus 1.1.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit , bei der beide Raketen die gleiche Masse besitzen.
Exponentielles Wachstum
Gegeben:
(bekannt aus Aufgabe 1.1)
Neue Startmasse
Gesucht:
Neue Rakete:
Gleichsetzen
Man soll die Geschwindigkeit ermitteln bei der die Raketen die gleiche Masse haben. Deswegen werden die Funktionen gleichgesetzt und nach
aufgelöst.
Potenzen mit gleicher Basis
Rechneregel für Potenzen mit gleicher Basis:
Hier ist
.
Logarithmieren
Die Exponentialfunktion
kann durch den Logarithmus
aufgehoben werden.
Beispiel:
Ausklammern
Da
in beiden Brüchen auf der linken Seite vorkommt, wird es ausgeklammert.
Antwort:
Bei einer Geschwindigkeit von besitzen die beiden Raketen die gleiche Masse.