Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik Mathematik I Aufgabe B2 Aufgabe 5

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.5 (4 Punkte)

Unter den Rauten

A B_{n} C_{n} D_{n}

gibt es ein Quadrat

A B_{0} C_{0} D_{0}

.
Zeichnen Sie das Quadrat

A B_{0} C_{0} D_{0}

in das Koordinatensystem zu 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Koordinaten der Eckpunkte

B_{0}

C_{0}

und

D_{0}

Lösung zu Aufgabe B2.5

Skizze

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Quadrat

A B_{0} C_{0} D_{0}

einzeichnen:

Einzeichnen

In einem Quadrat schließt die Diagonale mit der Seitenlinie einen

45^{\circ}

-Winkel ein.

\Rightarrow

∡ B_{0} A C_{0} = 45^{\circ}

wird zuerst eingezeichnet.

Der Scheitel dieses Winkels schneidet die Hyperbel

k

B_{0}

.

Jetzt kann das Quadrat mit der Seitenlänge

\bar{A B_{0}}

vervollständigt werden.

Koordinaten von Punkten ermitteln

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Die Seiten im Quadrat stehen senkrecht aufeinander, somit auch

\vec{A B_{n}}

und

\vec{A D_{n}}

\vec{A B_{n}} \circ \vec{A D_{n}} = 0

\vec{A B_{n}} = (\binom{x}{- 3 x^{- 1} - 1}) - (\binom{- 2}{- 2})

=

(\binom{x + 2}{- 3 x^{- 1} + 1})

\vec{D_{n}} = (\binom{- 3 x^{- 1} - 1}{x})

, da die Punkte

D_{n}

durch Spiegelung der Punkte

B_{n}

g : y = x

entstehen.

\vec{A D_{n}} = (\binom{- 3 x^{- 1} - 1}{x}) - (\binom{- 2}{- 2})

=

(\binom{- 3 x^{- 1} + 1}{x + 2})

(\binom{x + 2}{- 3 x^{- 1} + 1})

\circ

(\binom{- 3 x^{- 1} + 1}{x + 2})

= 0

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\binom{a_{1}}{a_{2}})

und

\vec{b} = (\binom{b_{1}}{b_{2}})

wird wie folgt dargestellt:

\vec{a} \circ \vec{b} = (\binom{a_{1}}{a_{2}}) \circ (\binom{b_{1}}{b_{2}})

=

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}

(x + 2) \cdot (- 3 x^{- 1} + 1) + (- 3 x^{- 1} + 1) \cdot (x + 2) = 0

2 \cdot (x + 2) \cdot (- 3 x^{- 1} + 1) = 0

(2 x + 4) \cdot (- 3 x^{- 1} + 1) = 0

- 6 + 2 x - 12 x^{- 1} + 4 = 0

2 x - 12 x^{- 1} - 2 = 0

|

\cdot x

2 x^{2} - 2 x - 12 = 0

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

a x^{2} + b x + c = 0

\Rightarrow

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{1, 2} = \frac{- (- 2) \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}

x_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{4}

x_{1} = 3

(x_{2} = - 2)

x_{2} = - 2

ist nicht in der Grundmenge enthalten.

x

ist die Abszisse der Punkte

B_{n}

\Rightarrow

B_{0} (3 | - 3 \cdot 3^{- 1} - 1)

\Rightarrow

B_{0} (3 | - 2)

C_{0}

hat den gleichen

x

-Wert wie

B_{0}

und den

y

-Wert

y = x

\Rightarrow

C_{0} (3 | 3)

D_{0}

hat den gleichen

x

-Wert wie

A

und den gleichen

y

-Wert wie

C_{0}

\Rightarrow

D_{0} (- 2 | 3)

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