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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe P2


 
Aufgabe P2.4  (1 Punkt)
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Streckenlängen P n S ¯ in Abhängigkeit von φ gilt: P n S ¯ ( φ ) = 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ ) cm.
 
Lösung zu Aufgabe P2.4

Länge einer Strecke
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Man betrachtet das Dreieck M B S mit ε = 60 ∘ .



Der Winkel M S P n kann im rechtwinkligen Dreieck M B S über die Winkelsumme berechnet werden.
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∡ M S P n = 180 ∘ - 90 ∘ - ϵ = 90 ∘ - 60 ∘ = 30 ∘

Nun kann im Dreieck P n S M auch der Winkel ∡ S P n M in Abhängigkeit von φ berechnet werden:

∡ S P n M = 180 ∘ - ( φ + 30 ∘ )

Dieser Winkel liegt der gegebenen Strecke [ M S ] gegenüber.

Im Dreieck P n S M kommen die gesuchte Strecke P n S und der Winkel φ vor.

Außerdem ist im Dreieck P n S M auch M S ¯ = 6 3 cm gegeben.

Jetzt ist die Berechnung von P n S ¯ mit Hilfe des Sinussatzes möglich.
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P n S ¯ M S ¯ = sin φ sin ∡ S P n M

P n S ¯ 6 3 ¯ = sin φ sin ( 180 ∘ - ( φ + 30 ∘ ) ) | ⋅ 6 3

P n S ¯ = 6 3 ⋅ sin φ sin ( 180 ∘ - ( φ + 30 ∘ ) )
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⇒ P n S ¯ ( φ ) = 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ ) c m

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