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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2007 Mathematik I Aufgabe P2


 
Aufgabe P2.5  (4 Punkte)
Berechnen Sie das Maß φ so, dass die Grundfläche  A B 2 C der Pyramide  A B 2 C P 2 einen Flächeninhalt von 50 cm² hat.
 
Lösung zu Aufgabe P2.5

Flächeninhalt eines Dreiecks
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Gegeben:

A A B 2 C = 50 cm², M B ¯ = 6 cm, A C ¯ = 8 cm, B B n ¯ = P n S ¯ = 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ )



Man erstellt die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Dreiecks A B 2 C und setzt die gegebenen Werte ein.
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A = 1 2 ⋅ a ⋅ h a

50 = 1 2 ⋅ A C ¯ ⋅ M B n ¯

50 = 1 2 ⋅ 8 ⋅ ( 6 + B B n ¯ ) siehe obige Skizze

50 = 4 ⋅ ( 6 + P n S ¯ )

50 = 4 ⋅ ( 6 + 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ ) ) | : 4

12 , 5 = 6 + 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ ) | - 6

6 , 5 = 6 3 ⋅ sin φ sin ( φ + 30 ∘ ) | ⋅ sin ( φ + 30 ∘ )

6 , 5 ⋅ sin ( φ + 30 ∘ ) = 6 3 ⋅ sin φ
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6 , 5 ⋅ ( sin φ ⋅ cos 30 ∘ + cos φ ⋅ sin 30 ∘ ) = 6 3 ⋅ sin φ | Klammern auflösen

6 , 5 sin φ cos 30 ∘ + 6 , 5 cos φ sin 30 ∘ = 6 3 ⋅ sin φ

6 , 5 sin φ cos 30 ∘ - 6 3 sin φ = - 6 , 5 cos φ sin 30 ∘

sin φ ⋅ ( 6 , 5 cos 30 ∘ - 6 3 ) = - 6 , 5 cos φ sin 30 ∘ | : cos φ
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tan φ ⋅ ( 6 , 5 cos 30 ∘ - 6 3 ) = - 6 , 5 sin 30 ∘ | : ( 6 , 5 cos 30 ∘ - 6 3 )

tan φ = - 6 , 5 sin 30 ∘ 6 , 5 cos 30 ∘ - 6 3
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⇒ φ = tan - 1 ( - 6 , 5 sin 30 ∘ 6 , 5 cos 30 ∘ - 6 3 ) ≈ 34 , 31 ∘

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