Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik Mathematik I Aufgabe A2 Aufgabe 6

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.6 (4 Punkte)

Unter den Höhen

[E M_{n}]

der Trapeze

D C Q_{n} P_{n}

hat die Höhe

[E M_{0}]

des Trapezes

D C Q_{0} P_{0}

die minimale Länge.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß

ε

.
Ermitteln Sie sodann durch Rechnung, in welchem Verhältnis das Volumen der Pyramide

A B C D S

durch die von den Eckpunkten des Trapezes

D C Q_{0} P_{0}

festgelegte Ebene geteilt wird.

Lösung zu Aufgabe A2.6

Winkel bestimmen

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Betrachtet wird das Dreieck

E F M_{0}

[E M_{0}]

hat minimale Länge, wenn

[E M_{0}]

senkrecht zu

[S F]

ist. Also wenn das Dreieck

E F M_{0}

rechtwinklig ist.

Winkelsumme im Dreieck

Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich

180^{\circ}

.

Im Dreieck

E F M_{0}

gilt somit:

ε + 90^{\circ} + φ = 180^{\circ}

ε = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55, 01^{\circ}

\Rightarrow

ε = 34, 99^{\circ}

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Nebenrechnungen (Seiten der Pyramide

D C Q_{0} P_{0} S

):

Aus Teilaufgabe 2.5 ist bekannt:

\bar{P_{n} Q_{n}} (ε) = \frac{13, 10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

\Rightarrow

\bar{P_{0} Q_{0}} = \frac{13, 10 \cdot \cos 34, 99^{\circ}}{\sin (55, 01^{\circ} + 34, 99^{\circ})} \approx 10, 73

cm

Aus Teilaufgabe 2.4 ist bekannt:

\bar{S M_{n}} (ε) = \frac{10 \cdot \cos ε}{\sin (55, 01^{\circ} + ε)}

\Rightarrow

\bar{S M_{0}} = \frac{10 \cdot \cos 34, 99^{\circ}}{\sin (55, 01^{\circ} + 34, 99^{\circ})} \approx 8, 19

cm

Im rechtwinkligem Dreieck

E F M_{0}

gilt:

Kosinus eines Winkels

Der Kosinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\cos α = \frac{Ankathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\cos ε = \frac{\bar{E M_{0}}}{\bar{E F}}

|

\cdot \bar{E F}

\bar{E M_{0}} = \cos ε \cdot \bar{E F}

\Rightarrow

\bar{E M_{0}} = \cos 34, 99^{\circ} \cdot 7 \approx 5, 73

Volumen einer Pyramide

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Volumen der Pyramide

D C Q_{0} P_{0} S

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{D C Q_{0} P_{0} S} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez mit den Grundseiten

a

und

b

und der Höhe

h

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h

Die Grundseite der Pyramide

C D P_{0} Q_{0} S

ist das Trapez

C D P_{0} Q_{0}

mit den Grundseiten

[C D]

und

[P_{0} Q_{0}]

und der Höhe

[E M_{0}]

V_{D C Q_{0} P_{0} S} = \frac{1}{3} \cdot \underset{G}{\underset{︸}{[\frac{1}{2} \cdot (\bar{P_{0} Q_{0}} + \bar{C D}) \cdot \bar{E M_{0}}]}} \cdot \underset{h}{\underset{︸}{\bar{S M_{0}}}}

V_{D C Q_{0} P_{0} S} = \frac{1}{3} \cdot [\frac{1}{2} \cdot (10, 73 + 9) \cdot 5, 73] \cdot 8, 19

^{3}

\Rightarrow

V_{D C Q_{0} P_{0} S} \approx 154, 31

^{3}

Volumen der Pyramide

A B C D S

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez mit den Grundseiten

a

und

b

und der Höhe

h

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h

Die Grundseite der Pyramide

A B C D S

ist das Trapez

A B C D

mit den Grundseiten

[A B]

und

[C D]

und der Höhe

[E F]

V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot \underset{G}{\underset{︸}{[\frac{1}{2} \cdot (\bar{A B} + \bar{C D}) \cdot \bar{E F}]}} \cdot \underset{h}{\underset{︸}{\bar{E S}}}

V_{A B C D S} = \frac{1}{3} \cdot [\frac{1}{2} \cdot (16 + 9) \cdot 7] \cdot 10

^{3}

\Rightarrow

V_{A B C D S} \approx 291, 67

^{3}

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

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\frac{\overset{Volumen Pyramidenstumpf}{\overset{︷}{V_{A B C D S} - V_{D C Q_{0} P_{0} S}}}}{V_{D C Q_{0} P_{0} S}} = \frac{291, 67 - 154, 31}{154, 31} = \frac{137, 36 c m}{154, 31 c m}

\Rightarrow

Das Volumen der Pyramide

A B C D S

wird in einem Verhältnis von ca.

154 : 137

geteilt.

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Lösungen zu:

Aufgabe A2.1

Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

Aufgabe A2.4

Aufgabe A2.5

Aufgabe A2.6

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel bestimmen

Seite eines Dreiecks bestimmen

Volumen einer Pyramide

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

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