Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik Mathematik I Aufgabe P2 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2008 Mathematik I Aufgabe P2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe P2.2 (3 Punkte)

Zeichnen Sie den Trägergraphen

g

der Punkte

R_{n}

in das Koordinatensystem zu 2.0 ein und ermitteln Sie seine Gleichung durch Rechnung.

Lösung zu Aufgabe P2.2

Skizze

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Trägergraphen

Auf dem Trägergraphen

g

liegen alle Punkte

R_{n}

.
Man verbindet also die Punkte

R_{1}

und

R_{2}

(und automatisch auch

R_{3}

) mit einer Geraden.

Geradengleichung aufstellen

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B (3, 5 | 0)

C (- 1 | 9)

Gerade

B C

bestimmen:

Geradengleichung

Die Funktionsgleichung einer Geraden lautet:

y = m \cdot x + t

Dabei ist:

m

die Steigung der Geraden

t

der

y

-Achsenabschnitt

y = m \cdot x + t

Zwei-Punkte-Form

Steigung einer Geraden mit der Zwei-Punkte-Form:

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Hier:

m = \frac{y_{B} - y_{C}}{x_{B} - x_{C}} = \frac{0 - 9}{3, 5 - (- 1)}

m = \frac{0 - 9}{3, 5 - (- 1)} = - 2

\Rightarrow

y = - 2 \cdot x + t

B \in B C

Einsetzen

Der Punkt

B

gehört zur Geraden

B C

. Man setzt seine Koordinaten in die Geradengleichung ein und löst nach

t

auf.

0 = - 2 \cdot 3, 5 + t

t = 7

\Rightarrow

B C : y = - 2 x + 7

\Rightarrow

Q_{n} (x | - 2 x + 7)

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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Die Punkte

R_{n}

entstehen durch Drehung der Punkte

Q_{n}

( die auf der Geraden

B C

liegen) um

90^{\circ}

um den Punkt

P

.

Punkte

Q_{n}

90^{\circ}

drehen:

Drehmatrix

Ist

α

der Drehwinkel einer Drehung um den Ursprung, so lautet die entsprechende Drehmatrix:

(\begin{matrix} \cos α & - \sin α \\ \sin α & \cos α \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos 90^{\circ} & - \sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{matrix}) \circ \underset{Q_{n}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} x \\ - 2 x + 7 \end{matrix})}}

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ - 2 x + 7 \end{matrix})

Matrizenmultiplikation

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \cdot x + b \cdot y \\ c \cdot x + d \cdot y \end{matrix})

(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 x - 7 \\ x \end{matrix})

\Rightarrow

R_{n} (2 x - 7 | x)

Trägergraphen bestimmen:

x^{''} = 2 x - 7

|

+ 7

x^{''} + 7 = 2 x

|

: 2

\frac{1}{2} x^{''} + 3, 5 = x

y^{''} = x

y^{''} = \frac{1}{2} x^{''} + 3, 5

\Rightarrow

g : y = \frac{1}{2} x + 3, 5

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Lösungen zu:

Aufgabe P2.1

Aufgabe P2.2

Aufgabe P2.3

Lösung als Video:

Themen dieser Aufgabe:

Skizze

Geradengleichung aufstellen

Trägergraphen / Ortskurve bestimmen

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