Aufgabe B2.3
(5 Punkte)
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von . Ermitteln Sie sodann den minimalen und den maximalen Flächeninhalt mit dem jeweils zugehörigen Winkelmaß .
[Teilergebnis: cm]
Flächeninhalt eines Dreiecks
Gesucht ist der Flächeninhalt des Rechtecks
.
Aus der Einleitung ist die Seitenlänge
und
cm bekannt. Aus Aufgabe 2.1 der Winkelmaß
. Der Winkel
wird mit
bezeichnet.
Seitenlänge
bestimmen:
Sinussatz
In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:
Im Dreieck
gilt somit:
Winkelsumme im Dreieck
Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich
.
Also hat der Winkel
eine Größe von
.
Additionstheorem
Aus dem Additionstheorem
, folgt:
Flächeninhalt des Rechtecks bestimmen:
(cm)
Extremwertaufgabe
Gesucht ist der minimale und maximale Flächeninhalt mit dem jeweils zugehörigen Winkelmaß .
Sinus eines Winkels
Die Größe der Fläche
wird durch einen Bruch dargestellt. Je größer der Zähler
ist, desto kleiner der Wert des Bruches. Da der Sinus eines Winkels maximal den Wert
haben kann, ist der Flächeninhalt minimal wenn gilt:
Der Flächeninhalt ist minimal wenn ist.
cm
Zugehöriges Winkelmaß bestimmen:
Das Viereck hat maximalen Inhalt, wenn es denselben Inhalt hat wie das Viereck . Das ist der Fall, wenn ist.
Der Flächeninhalt ist maximal wenn ist.
cm