Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik Mathematik II Aufgabe B1 Aufgabe 4

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2009 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.4 (5 Punkte)

Unter den Dreiecken

A_{n} B_{n} C_{n}

besitzt das Dreieck

A_{0} B_{0} C_{0}

den maximalen Flächeninhalt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks

A_{0} B_{0} C_{0}

und geben Sie die Koordinaten des Punktes

C_{0}

an.
[Teilergebnis:

\bar{A_{n} B_{n}} (x) = (- 1, 25 x^{2} + 11 x - 16)

LE ]

Lösung zu Aufgabe B1.4

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Aus Aufgabe B 1.2 sind die Punkte

A_{n}

und

B_{n}

bekannt:

A_{n} (x | x^{2} - 8 x + 14)

B_{n} (x | - 0, 25 x^{2} + 3 x - 2)

Länge der Grundseite

[A_{n} B_{n}]

eines Dreiecks

A_{n} B_{n} C_{n}

bestimmen:

Abstand zweier Punkte

Die Länge der Seite

[A_{n} B_{n}]

entspricht dem Abstand der Punkte

A_{n}

und

B_{n}

, da sie die gleiche

x

-Koordinaten haben.

Somit ist die Differenz der

y

-Koordinaten gleich dem Abstand.

\bar{A_{n} B_{n}} = y_{B_{n}} - y_{A_{n}}

\bar{A_{n} B_{n}} = [(- 0, 25 x^{2} + 3 x - 2) - (x^{2} - 8 x + 14)]

LE (Längeneinheiten)

\bar{A_{n} B_{n}} = (- 0, 25 x^{2} + 3 x - 2 - x^{2} + 8 x - 14)

\Rightarrow \bar{A_{n} B_{n}} = (- 1, 25 x^{2} + 11 x - 16)

LE

Flächeninhalt eines Dreiecks

A_{n} B_{n} C_{n}

bestimmen:

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks

A B C

mit Grundseite

g

und Höhe

h

ist gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

A = \frac{1}{2} \cdot \bar{A_{n} B_{n}} \cdot 4

A = \frac{1}{2} \cdot (- 1, 25 x^{2} + 11 x - 16) \cdot 4

FE (Flächeneinheiten)

\Rightarrow A = (- 2, 5 x^{2} + 22 x - 32)

Extremwertaufgabe

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x

-Koordinate des Scheitelpunktes der Funktion

y = - 2, 5 x^{2} + 22 x - 32

bestimmen:

Erläuterung

Der Flächeninhalt des Dreiecks

A_{n} B_{n} C_{n}

ist für verschiedene

x

unterschiedlich groß.

Für einen bestimmten

x

-Wert ist der Flächeninhalt

A = (- 2, 5 x^{2} + 22 x - 32)

FE am größten (maximal).

Die Funktion

y = - 2, 5 x^{2} + 22 x - 32

ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Den größte Funktionswert hat sie in ihrem Scheitelpunkt.

Die Koordinaten des Scheitelpunktes

S (x_{S} | y_{S})

einer Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + x

sind gegeben durch:

S (\frac{- b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

x_{m a x} = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 22}{2 \cdot (- 2, 5)} = 4, 4

Maximalen Flächeninhalt bestimmen:

A_{m a x} = - 2, 5 \cdot 4, 4^{2} + 22 \cdot 4, 4 - 32

\Rightarrow A_{m a x} = 16, 4

(FE)

\Rightarrow

Das Dreieck

A_{0} B_{0} C_{0}

hat einen Flächeninhalt von

16, 4

Lage eines Punktes

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x

-Koordinate des Punktes

C_{0}

bestimmen:

Erläuterung

Nach Angabe der Aufgabe B 1.2 ist die

x

-Koordinate der Punkte

C_{n}

um 4 kleiner als die

x

-Koordinate der Punkte

A_{n}

x_{C_{0}} = x_{A_{0}} - 4 = 4, 4 - 4 = 0, 4

y

-Koordinate der Punkte

A_{0}

und

B_{0}

bestimmen:

Erläuterung

x_{m a x} = 4, 4

wird in den Term für die

y

-Koordinate der Punkte

A_{n}

und

B_{n}

eingesetzt.

y_{A_{0}} = 4, 4^{2} - 8 \cdot 4, 4 + 14 = - 1, 84

y_{B_{0}} = - 0, 25 \cdot 4, 4^{2} + 3 \cdot 4, 4 - 2 = 6, 36

y

-Koordinate des Mittelpunktes

M

der Strecke

[A_{0} B_{0}]

bestimmen:

y_{M} = \frac{y_{A_{0}} + y_{B_{0}}}{2} = \frac{- 1, 84 + 6, 36}{2} = 2, 26

\Rightarrow

Koordinaten des Punktes

C_{0}

C_{0} (0, 4 | 2, 26)

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Dreiecks

Extremwertaufgabe

Lage eines Punktes

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