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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe A3


 
Aufgabe A3.2  (2 Punkte)
Die Dreiecke P Q n R rotieren um die Gerade P R .
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für den Oberflächeninhalt O der entstehenden
Rotationskörper in Abhängigkeit von φ gilt:
O ( φ ) = 3 π sin φ ( 3 + 73 - 48 cos φ ) cm 2 .
 
Lösung zu Aufgabe A3.2

Mantelfläche eines Kegels
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Rotiert ein Dreieck P Q n R um die Gerade P R , so entsteht ein Rotationskörper der aus zwei Kegeln besteht, einer mit Spitze P und der andere mit Spitze R . Beide haben den gleichen Radius r , der noch zu bestimmen ist.

Der Oberflächeninhalt O des Rotationskörpers entspricht der Summe der Mantelflächen der beiden Kegeln.


Benötigte Angaben aus den vorherigen Aufgaben:

P Q n ¯ = 3 cm
Q n R ¯ = 73 - 48 φ cm


Radius r der beiden Kegeln bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
r = P Q n ¯ sin φ

r = 3 sin φ cm



Mantelflächeninhalt M der beiden Kegeln bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
M Kegel mit Spitze  P = P Q n ¯ r π

M Kegel mit Spitze  P = ( 3 3 sin φ π ) cm 2



M Kegel mit Spitze R = Q n R ¯ r π

M Kegel mit Spitze  R = ( 73 - 48 φ 3 sin φ π ) cm 2





Oberflächeninhalt O bestimmen:

O ( φ ) = M Kegel mit Spitze  P + M Kegel mit Spitze  R

O ( φ ) = ( 3 3 sin φ π + 73 - 48 φ 3 sin φ π ) cm 2

3 π sin φ ausklammern:

O ( φ ) = 3 π sin φ ( 3 + 73 - 48 φ ) cm 2

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