Aufgabe B2.5
(5 Punkte)
Die Punkte , , , , und sind die Eckpunkte von Körpern, die sich jeweils aus zwei Pyramiden zusammensetzen.
Begründen Sie, dass sich das Volumen dieser Körper wie folgt berechnen lässt:
.
Berechnen Sie sodann das Volumen dieser Körper in Abhängigkeit von .
[Ergebnis: cm]
Volumen einer Pyramide
| Benötigte Angaben aus vorherigen Aufgaben: cm cm cm cm Sei der Diagonalschnittpunkt der Raute . |
Das Volumen des Körpers setzt sich zusammen aus der Summe der Volumina der Pyramiden mit Grundfläche die Raute
und Höhe
bzw.
.
Volumen einer Pyramide
| Eine Pyramide mit Grundfläche und Höhe hat ein Volumen von: |
Volumen des Körpers in Abhängigkeit von bestimmen:
Flächeninhalt einer Raute
| Eine Raute mit Diagonalen und hat einen Flächeninhalt von: |
durch zweimaliges Anwenden des Vierstreckensatzes bestimmen:
Vierstreckensatz
| Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen: 1. und 2. bzw. |
Betrachtet man nun das Dreieck
, so gilt auch nach dem zweiten Streckensatz:
| |
Ersetzt man
und
durch
und
, so lautet obige Gleichung:
Vierstreckensatz im Strahl aus durch und :
Vierstreckensatz
| Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen: 1. und 2. bzw. |
Betrachtet man nun das Dreieck
, so gilt auch nach dem zweiten Streckensatz:
| |
Ersetzt man
und
durch
und
, so lautet obige Gleichung:
Vierstreckensatz im Strahl aus durch und :
Aus den beiden Gleichungen folgt:
cm
Einsetzen von in :
cm
cm