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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik I Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.5  (5 Punkte)
Die Punkte E n , F n , G n , H n , M und S sind die Eckpunkte von Körpern, die sich jeweils aus zwei Pyramiden zusammensetzen.
Begründen Sie, dass sich das Volumen V dieser Körper wie folgt berechnen lässt:
V = 1 3 A Rauten  E n F n G n H n M S ¯ .
Berechnen Sie sodann das Volumen V dieser Körper in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 129 , 87 ( cos φ sin ( 60 + φ ) ) 2 cm 3 ]
 
Lösung zu Aufgabe B2.5

Volumen einer Pyramide
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Benötigte Angaben aus vorherigen Aufgaben:

A C ¯ = 10 cm

B D ¯ = 12 cm

M S ¯ = 8 , 66 cm

E n G n ¯ = 8 , 66 cos φ sin ( 60 + φ ) cm


Sei N n der Diagonalschnittpunkt der Raute E n F n G n H n .

Das Volumen des Körpers setzt sich zusammen aus der Summe der Volumina der Pyramiden mit Grundfläche die Raute E n F n G n H n und Höhe [ M N n ] bzw. [ N n S ] .
V Körper = V Pyramide mit Spitze  S + V Pyramide mit Spitze  M
Schritt einblenden / ausblenden
V Körper = 1 3 A Raute  E n F n G n H n N n S ¯ + 1 3 A Raute  E n F n G n H n M N n ¯

V Körper = 1 3 A Raute  E n F n G n H n ( N n S ¯ + M N n ¯ ) M S ¯

V Körper = 1 3 A Raute  E n F n G n H n M S ¯







Volumen des Körpers in Abhängigkeit von φ bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
V Körper ( φ ) = 1 3 1 2 E n G n ¯ F n H n ¯ M S ¯

V Körper ( φ ) = 1 3 1 2 8 , 66 cos φ sin ( 60 + φ ) F n H n ¯ 8 , 66



F n H n ¯ durch zweimaliges Anwenden des Vierstreckensatzes bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
Vierstreckensatz im Strahl aus S durch A und M : E n G n ¯ A C ¯ = N n S ¯ M S ¯
Schritt einblenden / ausblenden
Vierstreckensatz im Strahl aus S durch B und M : F n H n ¯ B D ¯ = N n S ¯ M S ¯


Aus den beiden Gleichungen folgt:

{ E n G n ¯ A C ¯ = N n S ¯ M S ¯ F n H n ¯ B D ¯ = N n S ¯ M S ¯ F n H n ¯ B D ¯ = E n G n ¯ A C ¯


F n H n ¯ B D ¯ = E n G n ¯ A C ¯ | B D ¯

F n H n ¯ = E n G n ¯ B D ¯ A C ¯

F n H n ¯ = 8 , 66 cos φ sin ( 60 + φ ) 12 10 cm

F n H n ¯ = 10 , 39 cos φ sin ( 60 + φ )






Einsetzen von F n H n ¯ in V Körper ( φ ) :
V Körper ( φ ) = 1 3 1 2 8 , 66 cos φ sin ( 60 + φ ) 10 , 39 cos φ sin ( 60 + φ ) 8 , 66 cm 3

V Körper ( φ ) 129 , 87 ( cos φ sin ( 60 + φ ) ) cm 3

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