Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik Mathematik II Aufgabe A2 Aufgabe 3

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.3 (5 Punkte)

Auf der Grünfläche wird eine große kreisförmige Skateranlage angelegt.
Im Plan bildet der Mittelpunkt

M

der Strecke

[S C]

den Mittelpunkt des Kreises

k

. Der Kreis

k

berührt die Strecke

[B C]

im Punkt

E

.
Zeichnen Sie die Strecke

[M E]

und den Kreis

k

in die Zeichnung zu 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt

A

des Kreises

k

.
[Teilergebnis:

\bar{S C} = 94, 4

Lösung zu Aufgabe A2.3

Skizze

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Seite eines Dreiecks bestimmen

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Seite

[S C]

mit dem Kosinussatz bestimmen:

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

In diesem Fall sind die Seiten

[B S]

und

[B C]

und der Winkel

∡ C B D

gegeben.

{\bar{S C}}^{2} = {\bar{B S}}^{2} + {\bar{B C}}^{2} - 2 \cdot \bar{B S} \cdot \bar{B C} \cdot \cos ∡ C B D

\bar{S C} = \sqrt{35^{2} + 105^{2} - 2 \cdot 35 \cdot 105 \cdot \cos 63^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{S C} \approx 94, 4

Winkel bestimmen

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Winkel

∡ S C B

mit dem Sinussatz bestimmen:

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Im Dreieck

B C S

gilt somit:

\frac{\bar{B S}}{\sin ∡ S C B} = \frac{\bar{S C}}{\sin ∡ C B D}

\Leftrightarrow

\frac{\sin ∡ S C B}{\bar{B S}} = \frac{\sin ∡ C B D}{\bar{S C}}

\frac{\sin ∡ S C B}{\bar{B S}} = \frac{\sin ∡ C B D}{\bar{S C}}

\frac{\sin ∡ S C B}{35} = \frac{\sin 63^{\circ}}{94, 4}

|

\cdot 35

\sin ∡ S C B = \frac{\sin 63^{\circ}}{94, 4} \cdot 35

Winkel berechnen

Um den Winkel

∡ S C B

aus

\sin ∡ S C B = \frac{\sin 63^{\circ}}{94, 4} \cdot 35

zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:

TR:

\frac{\sin 63^{\circ}}{94, 4} \cdot 35

\to

SHIFT

\to

\sin

\Rightarrow

∡ S C B = \sin^{- 1} (\frac{\sin 63^{\circ}}{94, 4} \cdot 35) \approx 19, 3^{\circ}

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Radius

\bar{M E}

bestimmen:

Sinus eines Winkels

Der Sinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\sin α = \frac{Gegenkathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Betrachtet man das rechtwinklige Dreieck

M E C

, so gilt für den Sinus des Winkels

S C B

\sin 19, 3^{\circ} = \frac{\bar{M E}}{\bar{E C}}

.

Da

M

der Mittelpunkt der Strecke

[S C]

ist, ist

\bar{E C} = \frac{1}{2} \cdot \bar{S C}

\sin 19, 3^{\circ} = \frac{\bar{M E}}{\frac{1}{2} \cdot \bar{S C}}

\bar{M E} = \frac{1}{2} \cdot 94, 4 \cdot \sin 19, 3^{\circ}

\Rightarrow

\bar{M E} \approx 15, 6

Flächeninhalt eines Kreises

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Flächeninhalt von

k

bestimmen:

A = r^{2} \cdot π

A = {\bar{M E}}^{2} \cdot π

A = 15, 6^{2} \cdot π

\Rightarrow

A \approx 764, 5

^{2}

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Aufgabe A2.3

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Skizze

Seite eines Dreiecks bestimmen

Winkel bestimmen

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