Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik Mathematik II Aufgabe A3 Aufgabe 1

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.1 (5 Punkte)

Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt des Grundkörpers eines Stehaufmännchens.

M S

ist die Symmetrieachse.
Es gilt:

\bar{M B} = 6, 0

cm ;

r = \bar{M B} = \bar{M C}

;

\bar{A B} = 1, 4

cm ;

∡ B S C = 50^{\circ}

.

Berechnen Sie das Volumen

V

des Grundkörpers. Runden Sie auf eine Stelle nach dem Komma.

Lösung zu Aufgabe A3.1

Volumen eines geometrischen Körpers

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V = \frac{1}{2} \cdot V_{Kugel} + V_{Zylinder} + V_{Kegel}

Volumen der Halbkugel bestimmen:

Volumen einer Kugel

Eine Kugel mit Radius

r

hat ein Volumen von:

V = \frac{4}{3} \cdot r^{3} \cdot π

\frac{1}{2} \cdot V_{Kugel} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot {\bar{M B}}^{3} \cdot π = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 6^{3} \cdot π = 144 π

^{3}

Volumen des Zylinders bestimmen:

Volumen eines Zylinders

Ein Zylinder mit Radius

r

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = G \cdot h = r^{2} \cdot π \cdot h

V_{Zylinder} = {\bar{M B}}^{2} \cdot π \cdot \bar{A B} = 6^{2} \cdot π \cdot 1, 4 = 50, 4 π

^{3}

Volumen des Kegels bestimmen:

Volumen eines Kegels

Ein Kegel mit Radius

r

und Höhe

h

, hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot {\bar{N P}}^{2} \cdot π \cdot \bar{S N}

\bar{N P}

und

\bar{S N}

sind unbekannt. Es folgen nun zwei Nebenrechnungen:

1) $\bar{M S}$ bestimmen

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan ∡ B S M = \frac{\bar{M B}}{\bar{M S}}

|

\cdot \frac{\bar{M S}}{\tan ∡ B S M}

\bar{M S} = \frac{\bar{M B}}{\tan ∡ B S M}

\bar{M S} = \frac{6}{\tan (\frac{50^{\circ}}{2})}

\Rightarrow

\bar{M S} \approx 12, 9

\Rightarrow

\bar{S N} = \bar{M S} - \bar{A B} = 12, 9 - 1, 4 = 11, 5

cm

2) $\bar{N P}$ mit dem Vierstreckensatz bestimmen:

Vierstreckensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen:

1.

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

In diesem Fall (wenn

S

der Punkt ist, aus dem der Strahl kommt) gilt nach 2):

\frac{\bar{N P}}{\bar{M B}} = \frac{\bar{S N}}{\bar{M S}}

\frac{\bar{N P}}{\bar{M B}} = \frac{\bar{S N}}{\bar{M S}}

\frac{\bar{N P}}{6} = \frac{11, 5}{12, 9}

|

\cdot 6

\Rightarrow

\bar{N P} \approx 5, 3

Somit ist das Volumen des Kegels:

V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot {\bar{N P}}^{2} \cdot π \cdot \bar{S N} = \frac{1}{3} \cdot 5, 3^{2} \cdot π \cdot 11, 5 \approx 107, 7 π

^{3}

Das Volumen des Grundkörper ist dann:

V = \frac{1}{2} \cdot V_{Kugel} + V_{Zylinder} + V_{Kegel} = 144 π + 50, 4 π + 107, 7 π \approx 949

^{3}

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