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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B1


 
Aufgabe B1.2  (4 Punkte)
Punkte B n ( x | - 0 , 25 x 2 + x + 7 ) auf der Parabel p sind für x > 4 zusammen mit dem Punkt C und Punkten A n die Eckpunkte von Dreiecken A n B n C mit A n B n ¯ = 6 LE.
Die Punkte A n und B n haben dieselbe Ordinate y .
Zeichnen Sie das Dreieck A 1 B 1 C für x = 7 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. Begründen Sie sodann, dass das Dreieck A 1 B 1 C nicht gleichseitig ist.
 
Lösung zu Aufgabe B1.2

Skizze
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Für x = 7 besteht das Dreieck A 1 B 1 C aus folgenden Punkten:

C ( 4 | 7 ) (s. Einleitung)

B 1 ( 7 | 1 , 75 ) (s. Wertetabelle aus Teilaufgabe 1)
Schritt einblenden / ausblenden
A 1 ( 1 | 1 , 75 )


Dreieck A 1 B 1 C 1 eintragen:
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks
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Vektor B 1 C → aufstellen:

B 1 C → = C → - B 1 → = ( 4 7 ) - ( 7 1 , 75 ) = ( - 3 5 , 25 )

Länge der Seite [ B 1 C ] bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden
B 1 C ¯ = ( - 3 ) 2 + ( 5 , 25 ) 2 ≈ 6 , 05 LE


A 1 B 1 C 1 ist nicht gleichseitig, da nicht alle Seiten gleich lang sind:

B 1 C ¯ ︸ 6 , 05 ≠ A 1 B 1 ¯ ︸ 6
Alternative Lösung
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Alternative Begründung:

Die Höhe des Dreiecks A 1 B 1 C 1 ist gleich 7 - 1 , 75 = 5 , 25 LE (Differenz der y -Koordinaten von C und B 1 bzw. A 1 )

Wäre das Dreieck gleichseitig, dann hätte jede Seite die Länge 6 und die Höhe wäre dann (laut Satz des Pythagoras) gleich 6 2 - 3 2 = 3 3 LE.

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