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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B1


 
Aufgabe B1.3  (2 Punkte)
Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für den Flächeninhalt A der Dreiecke A n B n C in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n gilt:
A ( x ) = ( 0 , 75 x 2 - 3 x ) FE .
 
Lösung zu Aufgabe B1.3

Flächeninhalt eines Dreiecks
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Aus den vorherigen Aufgaben: C ( 4 | 7 ) , B n ( x | - 0 , 25 x 2 + x + 7 )


Flächeninhalt A bestimmen:

A = 1 2 ⋅ A n B n ¯ ︸ Grundseite ⋅ h ︷ Höhe
Schritt einblenden / ausblenden
A = 1 2 ⋅ 6 ⋅ [ y C - y B n ]
Schritt einblenden / ausblenden
A ( x ) = 1 2 ⋅ 6 ⋅ [ 7 - ( - 0 , 25 x 2 + x + 7 ) ]

⇒ A ( x ) = ( 0 , 75 x 2 - 3 x ) FE (Flächeneinheiten)
Alternative Lösung
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Der Flächeninhalt des Dreiecks kann auch mit Hilfe des Kreuzproduktes von Vektoren bestimmt werden:

B n A → = A → - B n → = ( x - 6 y B n ) - ( x y B n ) = ( - 6 0 )

B n C → = C → - B n → = ( 4 7 ) - ( x - 0 , 25 x 2 + x + 7 ) = ( 4 - x 0 , 25 x 2 - x )

A ( x ) = 1 2 ⋅ | B n C → × B n A → | = 1 2 ⋅ | ( 4 - x ) - 6 ( 0 , 25 x 2 + x ) 0 |

A ( x ) = 1 2 ⋅ [ ( 4 - x ) ⋅ 0 - ( - 6 ) ⋅ ( 0 , 25 x 2 + x ) ]

A ( x ) = ( 0 , 75 x 2 - 3 x ) FE

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