Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik Mathematik II Aufgabe B2 Aufgabe 1

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.1 (4 Punkte)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide

A B C D S

, wobei die Strecke

[A C]

auf der Schrägbildachse und der Punkt

A

links vom Punkt

C

liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:

q = \frac{1}{2}

;

ω = 45^{\circ}

.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke

[M S]

und das Maß des Winkels

S C M

.
[Ergebnisse:

\bar{M S} = 6

cm ;

∡ S C M = 36, 87^{\circ}

]

Lösung zu Aufgabe B2.1

Skizze

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Schrägbild der Pyramide

A B C D S

q = \frac{1}{2}

\Rightarrow

\bar{B D} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4

Erläuterung

Entstehung der Zeichnung:

1. Ausgehend von

[A C]

(12 cm), wird der Punkt

M

, der 4 cm vom Punkt

A

liegt, eingezeichnet.

2. Mit einem Winkel von

45^{\circ}

[A C]

wird dann die Strecke

[B D]

eingezeichnet. Sie ist wegen

q = \frac{1}{2}

4 cm lang, geht durch

M

und wird durch

[A C]

halbiert (

M

ist Diagonalenschnittpunkt des Drachenvierecks

A B C D

).
Es entsteht das Drachenviereck

A B C D

3. Der Punkt

S

liegt senkrecht über den Punkt

M

. Eine zu

[A C]

senkrechte Hilfslinie markiert den Ort wo

S

eingezeichnet wird.
Ausgehend vom Punkt

C

wird mit einem Zirkel, der um 10 cm geöffnet ist (

[C S]

ist 10 cm lang), die Schnittstelle mit der Hilfslinie markiert. Der Schnittpunkt entspricht dem Punkt

S

4. Die Eckpunkte des Drachenvierecks werden mit der Spitze

S

verbunden.

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck

S M C

.

Länge der Seite

[M S]

mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

{\bar{M S}}^{2} + {\bar{M C}}^{2} = {\bar{C S}}^{2}

Erläuterung

Für die Länge der Seite

[M C]

gilt:

\bar{M C} = \bar{A C} - \bar{A M} = 12 - 4 = 8

{\bar{M S}}^{2} + 8^{2} = 10^{2}

|

- 8^{2}

{\bar{M S}}^{2} = 10^{2} - 8^{2}

|

Wurzel ziehen

\bar{M S} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}}

\Rightarrow

\bar{M S} = 6

Winkel bestimmen

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Winkel

∡ S C M

bestimmen:

Kosinus eines Winkels

Der Kosinus eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\cos α = \frac{Ankathete zu α}{Hypotenuse}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\cos ∡ S C M = \frac{\bar{M C}}{\bar{C S}} = \frac{8}{10}

Winkel berechnen

Um den Winkel

∡ S C M

aus

\cos ∡ S C M = \frac{8}{10}

zu bestimmen, wird im Taschenrechner (TR) folgendes eingegeben:

TR:

\frac{8}{10}

\to

SHIFT

\to

\cos

\Rightarrow

∡ S C M = \cos^{- 1} (\frac{8}{10}) \approx 36, 87^{\circ}

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Seite eines Dreiecks bestimmen

Winkel bestimmen

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