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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2010 Mathematik II Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.4  (3 Punkte)
Punkte P n liegen auf der Strecke [ C S ] , wobei die Winkel S P n R das Maß φ haben mit φ ∈ ] 26 , 25 ∘ ; 126 , 87 ∘ [ .
Zeichnen Sie das Dreieck P 1 S R für φ = 100 ∘ in das Schrägbild zu 2.1 ein.
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ R P 1 ] und den Flächeninhalt des Dreiecks P 1 S R .
[Ergebnis: R P 1 ¯ = 3 , 66 cm]
 
Lösung zu Aufgabe B2.4

Skizze
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Dreieck P 1 S R eintragen:
Schritt einblenden / ausblenden
Winkel bestimmen
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Benötigte Angaben aus den vorherigen Teilaufgaben: ∡ S C M = 36 , 87 ∘ ; R S ¯ = 4 , 5 cm



Im rechtwinkligem Dreieck C M S gilt:
Schritt einblenden / ausblenden
∡ M S C = 180 ∘ - ( 90 ∘ + ∡ S C M )

∡ M S C = 180 ∘ - ( 90 ∘ + 36 , 87 ∘ )

⇒ ∡ M S C = 53 , 13 ∘



Schritt einblenden / ausblenden
Im Dreieck P 1 S R gilt dann:

∡ P 1 R S = 180 ∘ - ( φ + ∡ R S P 1 ︸ = ∡ M S C )

∡ P 1 R S = 180 ∘ - ( 100 ∘ + 53 , 13 )

⇒ ∡ P 1 R S = 26 , 87 ∘
Seite eines Dreiecks bestimmen
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Länge der Seite [ R P 1 ] mit dem Sinussatz bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
R P 1 ¯ sin ∡ M S C = R S ¯ sin φ

R P 1 ¯ sin 53 , 13 ∘ = 4 , 5 sin 100 ∘ | ⋅ sin 53 , 13 ∘

R P 1 ¯ = 4 , 5 ⋅ sin 53 , 13 ∘ sin 100 ∘

⇒ R P 1 ¯ ≈ 3 , 66 cm
Flächeninhalt eines Dreiecks
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Flächeninhalt des Dreiecks P 1 S R bestimmen:
Schritt einblenden / ausblenden
A △ P 1 S R = 1 2 ⋅ R S ¯ ⋅ R P 1 ¯ ⋅ sin ∡ P 1 R S

A △ P 1 S R = 1 2 ⋅ 4 , 5 ⋅ 3 , 66 ⋅ sin 26 , 87 ∘

⇒ A △ P 1 S R ≈ 3 , 72 cm 2

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