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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe A3


 
Aufgabe A3.1  (3 Punkte)
Berechnen Sie das Volumen V der Stahltanks in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 4 3 π tan ( φ - 90 ) m³]
 
Lösung zu Aufgabe A3.1

Volumen eines Rotationskörpers
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Gegeben:

A E ¯ = 2 , 00 m A F ¯ = 1 , 00 m

Seien G n die Schnittpunkte von [ B n D n ] und [ F C n ] .

F C n ¯ = 2 A B n ¯ G n C n ¯ = A B n ¯

Der Stahltank ist ein zusammengesetzter Körper aus Zylinder und Kegel.
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V T a n k = V Z y l i n d e r + V K e g e l

V T a n k = r 2 π h Z y l i n d e r + 1 3 r 2 π h K e g e l
Schritt einblenden / ausblenden
V T a n k = r 2 π ( h Z y l i n d e r + 1 3 h K e g e l )
Schritt einblenden / ausblenden
V T a n k = 1 2 π ( A B n ¯ + 1 3 A B n ¯ )

V T a n k = π 4 3 A B n ¯

Nun muss noch A B n ¯ berechnet werden.

Da A B n ¯ = G n C n ¯ und das Tankvolumen in Abhängigkeit von φ berechnet werden soll, betrachtet man das Dreieck B n C n G n .

Schritt einblenden / ausblenden
Im Dreieck B n C n G n gilt:

tan ( φ - 90 ) = G n C n ¯ B n G n ¯ = A B n ¯ 1

A B n ¯ = tan ( φ - 90 )

V T a n k = π 4 3 A B n ¯

V T a n k = 4 3 π tan ( φ - 90 )

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