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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1


 
Aufgabe B1.5  (3 Punkte)
Die Punkte P n sind die Spitzen von Pyramiden A B C D P n mit den Höhen [ P n K n ] , deren Fußpunkte K n auf der Strecke [ A T ] liegen.
Zeichnen Sie die Pyramide A B C D P 1 und ihre Höhe [ P 1 K 1 ] in das Schrägbild zu 1.1 ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen V der Pyramiden A B C D P n in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 81 , 4 sin φ sin ( 54 , 46 + φ ) cm³]
 
Lösung zu Aufgabe B1.5

Skizze
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Pyramide A B C D P 1 und Höhe [ P 1 K 1 ] einzeichnen:

Volumen einer Pyramide
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Gegeben:

A C ¯ = 10 cm, B D ¯ = 6 cm

Gesucht:

Volumen V der Pyramiden A B C D P n in Abhängigkeit von φ
Schritt einblenden / ausblenden
V = 1 3 G h

Die Grundfläche G ist die Raute A B C D .

Die Höhe h ist die Strecke [ P n K n ] .
Schritt einblenden / ausblenden
V = 1 3 1 2 e f h

V = 1 3 1 2 10 6 P n K n ¯ = 10 P n K n ¯

Zur Berechnung von P n K n ¯ wird das rechtwinklige Dreieck K n C P n betrachtet.


Schritt einblenden / ausblenden
Im rechtwinkligen Dreieck K n C P n gilt:

sin φ = P n K n ¯ C P n ¯ | C P n ¯ ( C P n ¯ = 8 , 14 sin ( 54 , 46 + φ ) v g l . A u f g a b e 1 . 4 )

P n K n ¯ = sin φ C P n ¯ = sin φ 8 , 14 sin ( 54 , 46 + φ )

V = 10 P n K n ¯

V ( φ ) = 81 , 4 sin φ sin ( 54 , 46 + φ ) cm³


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