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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik I Aufgabe B1


 
Aufgabe B1.6  (3 Punkte)
Das Volumen der Pyramide A B C D P 3 beträgt ein Viertel des Volumens des Prismas A B C D E F G H .
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .
 
Lösung zu Aufgabe B1.6

Volumen eines Prismas
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Gegeben:

A C ¯ = 10 cm, B D ¯ = 6 cm, A E ¯ = 7 cm

Zunächst muss das Volumen des Prismas A B C D E F G H berechnet werden.
Schritt einblenden / ausblenden
V = G ⋅ h

Die Grundfläche G ist die Raute A B C D .

Die Höhe h ist die Strecke [ A E ] .
Schritt einblenden / ausblenden
V P r i s m a = 1 2 ⋅ e ⋅ f ⋅ h

V P r i s m a = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ 7 = 210 cm³
Winkel bestimmen
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Gegeben: V P y r a m i d e ( φ ) = 81 , 4 ⋅ sin φ sin ( 54 , 46 ∘ + φ ) cm³

Das Volumen der Pyramide A B C D P 3 beträgt ein Viertel des Volumens des Prismas A B C D E F G H .

⇒ V A B C D P 3 = 1 4 ⋅ V P r i s m a

81 , 4 ⋅ sin φ sin ( 54 , 46 ∘ + φ ) = 1 4 ⋅ 210 | ⋅ sin ( 54 , 46 ∘ + φ )

81 , 4 ⋅ sin φ = 52 , 5 ⋅ sin ( 54 , 46 ∘ + φ )
Schritt einblenden / ausblenden
81 , 4 ⋅ sin φ = 52 , 5 ⋅ ( sin 54 , 46 ∘ ⋅ cos φ + cos 54 , 46 ∘ ⋅ sin φ )

81 , 4 ⋅ sin φ = 52 , 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ ⋅ cos φ + 52 , 5 ⋅ cos 54 , 46 ∘ ⋅ sin φ

81 , 4 ⋅ sin φ - 52 , 5 ⋅ cos 54 , 46 ∘ ⋅ sin φ = 52 , 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ ⋅ cos φ

sin φ ⋅ ( 81 , 4 - 52 , 5 ⋅ cos 54 , 46 ∘ ) = 52 , 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ ⋅ cos φ | : cos φ
Schritt einblenden / ausblenden
tan φ ⋅ ( 81 , 4 - 52 , 5 ⋅ cos 54 , 46 ∘ ) = 52 , 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ | : ( 81 , 4 - 52 , 5 ⋅ cos 54 , 46 ∘ )

tan φ = 52 , 5 ⋅ sin 54 , 46 ∘ 81 , 4 - 52 , 5 ⋅ cos 54 , 46 ∘ | tan - 1

⇒ φ ≈ 40 , 02 ∘

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