Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik Mathematik II Aufgabe A2 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.2 (4 Punkte)

Punkte

P_{n}

liegen auf der Strecke

[B S]

mit

\bar{B P_{n}} = x

cm,

0 < x < 12, 85

;

x \in ℝ

. Sie sind die Spitzen von Pyramiden

C A S P_{n}

.
Zeichnen Sie für

x = 4

die Pyramide

C A S P_{1}

und die zugehörige Höhe

[P_{1} F_{1}]

, deren Fußpunkt

F_{1}

auf der Strecke

[M S]

liegt, in das Schrägbild zu 2.0 ein.
Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide

C A S P_{1}

Lösung zu Aufgabe A2.2

Skizze

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Pyramide

C A S P_{1}

und Höhe

[P_{1} F_{1}]

einzeichnen:

Einzeichnen

Zuerst wird der Punkt

P_{1}

im Abstand von

4

cm vom Punkt

B

auf der Strecke

[B S]

eingezeichnet.

Anschließend werden die Punkte zur Pyramide

C A S P_{1}

verbunden.

Zum Schluss wird noch die Höhe eingezeichnet (siehe Beschreibung in der Angabe).

Volumen einer Pyramide

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Gegeben:

\bar{A C} = 8

cm,

\bar{M S} = 9

cm,

\bar{B M} = 9, 17

cm,

\bar{B S} = 12, 85

cm,

\bar{B P_{1}} = 4

cm

Gesucht:

Volumen

V

der Pyramide

C A S P_{1}

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Die Grundfläche

G

ist das gleichschenklige Dreieck

C A S

.

Die Höhe

h

ist die Strecke

[P_{1} F_{1}]

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

Im Dreieck

C A S

a = [A C]

h_{a} = [M S]

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \bar{A C} \cdot \bar{M S} \cdot \bar{P_{1} F_{1}}

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \bar{P_{1} F_{1}}

=

12 \cdot \bar{P_{1} F_{1}}

Zur Berechnung von

\bar{P_{1} F_{1}}

wird das Dreieck

B M S

betrachtet.

Strahlensatz

Vierstreckensatz

Wird ein Strahl von zwei parallelen Geraden geschnitten, dann gelten zwischen den Strecken folgende Beziehungen:

1.

\frac{a}{x} = \frac{b}{y}

und

\frac{a}{c} = \frac{b}{d}

\frac{v}{w} = \frac{a}{x}

bzw.

\frac{v}{w} = \frac{b}{y}

\frac{\bar{P_{1} F_{1}}}{\bar{B M}} = \frac{\bar{P_{1} S}}{\bar{B S}}

\frac{\bar{P_{1} F_{1}}}{9, 17} = \frac{\bar{B S} - \bar{B P_{1}}}{12, 85}

\frac{\bar{P_{1} F_{1}}}{9, 17} = \frac{12, 85 - 4}{12, 85}

|

\cdot 9, 17

\bar{P_{1} F_{1}} = 6, 32

V = 12 \cdot \bar{P_{1} F_{1}} = 12 \cdot 6, 32

\Rightarrow

V = 75, 84

cm³

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Skizze

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