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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2011 Mathematik II Aufgabe A3


 
Aufgabe A3.1  (5 Punkte)
Frau Recht-Eck möchte ihr Grundstück mit der Flur-Nr. 712/84 (siehe nebenstehende Skizze), welches die Seitenlängen 60 , 00 m, 70 , 00 m und 80 , 00 m hat, gegen ein rechteckiges Grundstück mit dem gleichen Flächeninhalt eintauschen.
Die Länge des rechteckigen Grundstücks soll 1 , 5 -mal so groß wie die Breite sein.

Berechnen Sie die Seitenlängen des rechteckigen Grundstücks. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma.

 
Lösung zu Aufgabe A3.1

Flächeninhalt eines Rechtecks
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Seien a die Länge und b die Breite des neuen rechteckigen Grundstücks.
Schritt einblenden / ausblenden
A = a ⋅ b

Da die Länge a 1,5-mal so groß wie die Breite b ist, kann man schreiben:

a = 1 , 5 ⋅ b
Schritt einblenden / ausblenden
A = a ⋅ b = 1 , 5 ⋅ b ⋅ b

⇒ A = 1 , 5 ⋅ b 2
Flächeninhalt eines Dreiecks
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Das alte Grundstück hat die Fläche eines beliebigen Dreiecks mit den Seitenlängen 60 , 00 m, 70 , 00 m und 80 , 00 m.

Schritt einblenden / ausblenden
A = 1 2 ⋅ 60 , 00 ⋅ 80 , 00 ⋅ sin α

Der Winkel α wird mit dem Kosinussatz berechnet:
Schritt einblenden / ausblenden
a 2 = b 2 + c 2 - 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α

70 , 00 2 = 60 , 00 2 + 80 , 00 2 - 2 ⋅ 60 , 00 ⋅ 80 , 00 ⋅ cos α

4900 = 10000 - 9600 ⋅ cos α | - 10000

- 5100 = - 9600 ⋅ cos α | : ( - 9600 )

cos α = 0 , 53125 | cos - 1

⇒ α ≈ 57 , 91 ∘

A = 1 2 ⋅ 60 , 00 ⋅ 80 , 00 ⋅ sin 57 , 91 ∘ ≈ 2033 , 32 m²
Schritt einblenden / ausblenden
1 , 5 ⋅ b 2 = 2033 , 32 | : 1 , 5

b 2 = 1355 , 54 |

b = 1355 , 54

⇒ b ≈ 36 , 82 m
Schritt einblenden / ausblenden
a = 1 , 5 ⋅ b = 1 , 5 ⋅ 36 , 82

⇒ a = 55 , 23 m

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