Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik Mathematik I Aufgabe A2 Aufgabe 4

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Ermitteln Sie durch Rechnung, am Ende welchen Jahres voraussichtlich erstmals über

900

Waschbären mehr als im Jahr zuvor registriert werden.

Lösung zu Aufgabe A2.4

Exponentielles Wachstum

Anzahl der Waschbären nach

x

Jahren:

250 \cdot 1, 27^{x}

Anzahl der Waschbären nach

x - 1

Jahren:

250 \cdot 1, 27^{x - 1}

250 \cdot 1, 27^{x} - 250 \cdot 1, 27^{x - 1} = 900

Potenzregeln

Hier wird folgende Potenzregel angewendet:

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}

250 \cdot 1, 27^{x} - 250 \cdot 1, 27^{x} \cdot 1, 27^{- 1} = 900

Ausklammern

Der Term

250 \cdot 1, 27^{x}

wird ausgeklammert.

250 \cdot 1, 27^{x} \cdot (1 - 1, 27^{- 1}) = 900

|

: 250 \cdot (1 - 1, 27^{- 1})

Logarithmieren

Die Exponentialfunktion

1, 27^{x}

kann durch den Logarithmus

\log_{1, 27}

aufgehoben werden.

Beispiel:

2^{x} = 8

\Leftrightarrow

\log_{2} 2^{x} = \log_{2} 8

\Leftrightarrow

x = 3

1, 27^{x} = \frac{900}{250 \cdot (1 - 1, 27^{- 1})}

|

\log_{1, 27}

x = \log_{1, 27} \frac{900}{250 \cdot (1 - 1, 27^{- 1})}

x \approx 11, 84

2012 + 11, 84 = 2023, 84

\Rightarrow

2024

Ende des Jahres 2024 werden voraussichtlich erstmals über 900 Waschbären mehr als im Vorjahr registriert.

Lösungen zu:

Aufgabe A2.1

Aufgabe A2.2

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Themen dieser Aufgabe:

Exponentielles Wachstum

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