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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.1  (4 Punkte)
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas A B C D E F , wobei die Kante [ A B ] auf der Schrägbildachse liegen soll (Lage des Prismas wie in der Skizze zu 2.0 dargestellt).
Für die Zeichnung gilt: q = 1 2 ; ω = 45 .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [ F E ] und das Maß des Winkels A F E .
[Ergebnis: F E ¯ = 10 cm; A F E = 50 , 21 ]
 
Lösung zu Aufgabe B2.1

Skizze
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Prisma A B C D E F einzeichnen:
Schritt einblenden / ausblenden
Länge einer Strecke
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Gegeben: A B ¯ = D E ¯ = 6 cm; A C ¯ = D F ¯ = 8 cm.

Gesucht: F E ¯

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck D E F .

Schritt einblenden / ausblenden
F E ¯ 2 = D E ¯ 2 + D F ¯ 2

F E ¯ 2 = 6 2 + 8 2 |

F E ¯ = 6 2 + 8 2

F E ¯ = 10 cm
Winkel bestimmen
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Gesucht: A F E

Man betrachtet das Dreieck A E F .


Schritt einblenden / ausblenden
In diesem Dreieck wurde F E ¯ = 10 cm soeben berechnet.

Zudem kann A E ¯ (= Diagonallänge des Quadrates A B E D ) berechnet werden.
Schritt einblenden / ausblenden
A E ¯ = A B ¯ 2

A E ¯ = 6 2
Zudem kann A F ¯ berechnet werden.

Dazu betrachtet man das rechtwinklige Dreieck A D F .

Schritt einblenden / ausblenden
A F ¯ 2 = D F ¯ 2 + A D ¯ 2

A F ¯ 2 = 8 2 + 6 2 |

A F ¯ = 8 2 + 6 2

A F ¯ = 10 cm
Im Dreieck A E F sind nun alle drei Seitenlängen gegeben.

Schritt einblenden / ausblenden
Es gilt:

A E ¯ 2 = A F ¯ 2 + E F ¯ 2 - 2 A F ¯ E F ¯ cos A F E

A E ¯ 2 - A F ¯ 2 - E F ¯ 2 = - 2 A F ¯ E F ¯ cos A F E

cos A F E = A E ¯ 2 - A F ¯ 2 - E F ¯ 2 - 2 A F ¯ E F ¯ | : ( - 1 )

cos A F E = A F ¯ 2 + E F ¯ 2 - A E ¯ 2 2 A F ¯ E F ¯

cos A F E = 10 2 + 10 2 - ( 6 2 ) 2 2 10 10

A F E = cos - 1 ( 10 2 + 10 2 - ( 6 2 ) 2 2 10 10 )

A F E 50 , 21

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