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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.4  (3 Punkte)
Die Punkte Q n sind die Spitzen von Pyramiden A D F Q n mit der Grundfläche A D F und den Höhen [ P n Q n ] . Die Punkte P n liegen auf der Strecke [ D F ] .
Zeichnen Sie die Pyramide A D F Q 1 und die Höhe [ P 1 Q 1 ] in das Schrägbild zu 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen V der Pyramiden A D F Q n in Abhängigkeit von φ .
[Ergebnis: V ( φ ) = 48 sin ( 50 , 21 + φ ) sin φ cm³]
 
Lösung zu Aufgabe B2.4

Skizze
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Pyramide A D F Q 1 einzeichnen:
Schritt einblenden / ausblenden
Volumen einer Pyramide
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Gegeben: A D ¯ = 6 cm; D F ¯ = 8 cm; D E ¯ = 6 cm; F E ¯ = 10 cm

Gesucht: V A D F Q n
Schritt einblenden / ausblenden
V A D F Q n = 1 3 A Δ A D F P n Q n ¯
Schritt einblenden / ausblenden
V A D F Q n = 1 3 ( 1 2 A D ¯ D F ¯ ) P n Q n ¯

V A D F Q n = 1 3 ( 1 2 6 8 )

V A D F Q n = 8 P n Q n ¯

Zur Berechnung von P n Q n ¯ werden die Dreiecke F P n Q n und F D E betrachtet.

Schritt einblenden / ausblenden
Im Dreieck F P n Q n gilt: sin α = P n Q n ¯ F Q n ¯


Im Dreieck F D E gilt: sin α = D E ¯ F E ¯ = 6 10
Schritt einblenden / ausblenden
P n Q n ¯ F Q n ¯ = 6 10 | F Q n ¯

P n Q n ¯ = 6 10 F Q n ¯

Aus Teilaufgabe 2.3: F Q n ¯ ( φ ) = 10 sin ( 50 , 21 + φ ) sin φ cm


P n Q n ¯ = 6 10 10 sin ( 50 , 21 + φ ) sin φ

P n Q n ¯ = 6 sin ( 50 , 21 + φ ) sin φ

V A D F Q n = 8 P n Q n ¯

V A D F Q n = 8 6 sin ( 50 , 21 + φ ) sin φ

V A D F Q n ( φ ) = 48 sin ( 50 , 21 + φ ) sin φ cm³

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