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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik I Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.5  (3 Punkte)
Das Volumen der Pyramide A D F Q 2 ist um 70 % kleiner als das Volumen des Prismas A B C D E F . Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .
 
Lösung zu Aufgabe B2.5

Volumen eines Prismas
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Gegeben:

A B ¯ = A D ¯ = 6 cm; A C ¯ = 8 cm

V A D F Q n ( φ ) = 48 ⋅ sin ( 50 , 21 ∘ + φ ) sin φ cm³


Zuerst wird das Volumen des Prismas A B C D E F berechnet.
Schritt einblenden / ausblenden
V A B C D E F = A Δ A B C ⋅ A D ¯
Schritt einblenden / ausblenden
V A B C D E F = 1 2 ⋅ A B ¯ ⋅ A C ¯ ⋅ A D ¯

V A B C D E F = 1 2 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 6 = 144 cm³
Winkel bestimmen
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Laut Angabe ist V A D F Q 2 um 70 % kleiner als V A B C D E F .

⇒ V A D F Q 2 = ̂ 30 % von V A B C D E F

⇒ V A D F Q 2 = 0 , 3 ⋅ 144
Schritt einblenden / ausblenden
48 ⋅ sin ( 50 , 21 ∘ + φ ) sin φ = 0 , 3 ⋅ 144 | ⋅ sin φ

48 ⋅ sin ( 50 , 21 ∘ + φ ) = 43 , 2 ⋅ sin φ
Schritt einblenden / ausblenden
48 ⋅ ( sin 50 , 21 ∘ ⋅ cos φ + cos 50 , 21 ∘ ⋅ sin φ ) = 43 , 2 ⋅ sin φ

48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ ⋅ cos φ + 48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ ⋅ sin φ = 43 , 2 ⋅ sin φ | - 43 , 2 ⋅ sin φ | 48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ ⋅ cos φ
Schritt einblenden / ausblenden
48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ ⋅ sin φ - 43 , 2 ⋅ sin φ = - 48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ ⋅ cos φ

sin φ ⋅ ( 48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ - 43 , 2 ) = - 48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ ⋅ cos φ | : cos φ

sin φ cos φ ⋅ ( 48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ - 43 , 2 ) = - 48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ | : ( 48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ - 43 , 2 )
Schritt einblenden / ausblenden
tan φ = - 48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ 48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ - 43 , 2


φ = tan - 1 - 48 ⋅ sin 50 , 21 ∘ 48 ⋅ cos 50 , 21 ∘ - 43 , 2 ≈ 71 , 3 ∘

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