Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik Mathematik II Aufgabe A2 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.2 (3 Punkte)

Punkte

P_{n}

liegen auf der Strecke

[A S]

mit

\bar{A P_{n}} = x

cm,

0 ≦ x ≦ 11, 66

;

x \in ℝ

.
Zeichnen Sie den Punkt

P_{1}

für

x = 2, 5

und die Strecke

[P_{1} C]

in die Zeichnung zu 2.0 ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke

[P_{1} C]

und das Maß des Winkels

P_{1} C A

Lösung zu Aufgabe A2.2

Skizze

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Punkt

P_{1}

für

x = 2, 5

und Strecke

[P_{1} C]

einzeichnen:

Länge einer Strecke

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Man betrachtet das Dreieck

A C P_{1}

Gegeben:

\bar{A P_{1}} = 2, 5

cm;

\bar{A C} = 14

cm;

α = 59, 04^{\circ}

Gesucht:

\bar{P_{1} C}

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

{\bar{P_{1} C}}^{2} = {\bar{A P_{1}}}^{2} + {\bar{A C}}^{2} - 2 \cdot \bar{A P_{1}} \cdot \bar{A C} \cdot \cos α

{\bar{P_{1} C}}^{2} = 2, 5^{2} + 14^{2} - 2 \cdot 2, 5 \cdot 14 \cdot \cos 59, 04^{\circ}

|

\sqrt{}

{\bar{P_{1} C}}^{2} = \sqrt{2, 5^{2} + 14^{2} - 2 \cdot 2, 5 \cdot 14 \cdot \cos 59, 04^{\circ}}

{\bar{P_{1} C}}^{2} \approx 12, 89

Winkel bestimmen

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Gesucht:

∡ P_{1} C A

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

{\bar{A P_{1}}}^{2} = {\bar{A C}}^{2} + {\bar{P_{1} C}}^{2} - 2 \cdot \bar{A C} \cdot \bar{P_{1} C} \cdot \cos ∡ P_{1} C A

|

+ 2 \cdot \bar{A C} \cdot \bar{P_{1} C} \cdot \cos ∡ P_{1} C A - {\bar{A P_{1}}}^{2}

2 \cdot \bar{A C} \cdot \bar{P_{1} C} \cdot \cos ∡ P_{1} C A = {\bar{A C}}^{2} + {\bar{P_{1} C}}^{2} - {\bar{A P_{1}}}^{2}

|

: (2 \cdot \bar{A C} \cdot \bar{P_{1} C})

\Rightarrow

\cos ∡ P_{1} C A = \frac{{\bar{A C}}^{2} + {\bar{P_{1} C}}^{2} - {\bar{A P_{1}}}^{2}}{2 \cdot \bar{A C} \cdot \bar{P_{1} C}}

\cos ∡ P_{1} C A = \frac{14^{2} + 12, 89^{2} - 2, 5^{2}}{2 \cdot 14 \cdot 12, 89}

∡ P_{1} C A = \cos^{- 1} (\frac{14^{2} + 12, 89^{2} - 2, 5^{2}}{2 \cdot 14 \cdot 12, 89})

∡ P_{1} C A \approx 9, 57^{\circ}

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Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

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Skizze

Länge einer Strecke

Winkel bestimmen

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