Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik Mathematik II Aufgabe B1 Aufgabe 1

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.1 (5 Punkte)

Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für

b

und

c

, dass die Parabel

p

die Gleichung

y = - 0, 25 x^{2} + 2, 5 x - 0, 25

hat und bestimmen Sie die Gleichung der Geraden

g

. Zeichnen Sie sodann die Parabel

p

für

x \in [0; 12]

und die Gerade

g

in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung:

Längeneinheit 1 cm;

- 1 ≦ x ≦ 14

;

- 7 ≦ y ≦ 7

Lösung zu Aufgabe B1.1

Funktionsgleichung ermitteln

weitere Mittlere-Reife-Prüfungsaufgaben zu diesem Thema

Gegeben:

p : y = - 0, 25 x^{2} + b x + c

P (- 5 | - 19)

und

Q (7 | 5)

liegen auf

p

.

Gesucht sind die Parameter

b

und

c

Gleichungssystem aufstellen

Die Punkte

P

und

Q

werden in die Parabelgleichung

p

eingesetzt.
Man erhält ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten

b

und

c

\begin{matrix} P : & - 19 & = & - 0, 25 \cdot (- 5)^{2} + b \cdot (- 5) + c \\ Q : & 5 & = & - 0, 25 \cdot 7^{2} + b \cdot 7 + c \end{matrix}

\begin{matrix} I. & - 19 & = & - 6, 25 - 5 b + c \\ II. & 5 & = & - 12, 25 + 7 b + c & | \cdot (- 1) \end{matrix}

\begin{matrix} I. & - 19 & = & - 6, 25 - 5 b + c \\ II. & - 5 & = & 12, 25 - 7 b - c \end{matrix}

Gleichungssystem lösen - Additionsverfahren

Die zweite Gleichung wird mit

- 1

multipliziert. Somit kommt in der ersten Gleichung der Term

c

und in der zweiten Gleichung der Term

- c

vor. Danach werden die beiden Gleichungen addiert, wodurch der Parameter

c

verschwindet.

\begin{matrix} I+II. & - 24 & = & 6 - 12 b & | & - 6 \\ - 30 & = & - 12 b & | & : (- 12) \\ b & = & 2, 5 \end{matrix}

b = 2, 5

in I. einsetzen:

\begin{matrix} - 19 & = & - 6, 25 - 5 \cdot 2, 5 + c \\ - 19 & = & - 6, 25 - 12, 5 + c \\ c & = & - 0, 25 \end{matrix}

Einsetzen

b = 2, 5

und

c = - 0, 25

werden in die Parabelgleichung eingesetzt.

\Rightarrow

p : y = - 0, 25 x^{2} + 2, 5 x - 0, 25

Geradengleichung aufstellen

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Gegeben:

R (0 | 2, 5)

S (5 | 0)

R, S \in g

Gesucht:

g

Geradengleichung

Die Funktionsgleichung einer Geraden lautet:

y = m \cdot x + t

Dabei ist:

m

die Steigung der Geraden

t

der

y

-Achsenabschnitt

g : y = m x + t

Zwei-Punkte-Form

Steigung einer Geraden mit der Zwei-Punkte-Form:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Hier:

m = \frac{y_{R} - y_{S}}{x_{R} - x_{s}} = \frac{2, 5 - 0}{0 - 5}

Steigung

m

bestimmen:

m = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{2, 5 - 0}{0 - 5} = \frac{2, 5}{- 5} = - 0, 5

y = - 0, 5 x + t

Einsetzen

Der Punkt

R

wird in

y = - 0, 5 x + t

eingesetzt um den

y

-Achsenabschnitt

t

zu bestimmen.

y

-Achsenabschnitt

t

bestimmen:

R : 2, 5 = - 0, 5 \cdot 0 + t

t = 2, 5

\Rightarrow

g : y = - 0, 5 x + 2, 5

Skizze

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Scheitelpunkt

S (x_{S} | y_{S})

der Parabel bestimmen:

Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen

Eine quadratische Funktion der Form

y = a x^{2} + b x + c

besitzt folgenden Scheitelpunkt

S

S (- \frac{b}{2 a} | c - \frac{b^{2}}{4 a})

(siehe Formelsammlung)

Der Scheitelpunkt wird hier berechnet um die Parabel leichter einzeichnen zu können.

x_{S} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2, 5}{- 2 \cdot 0, 25} = 5

y_{S} = 6

\Rightarrow

S (5 | 6)

Wertetabelle für die Parabel erstellen:

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Lösungen zu:

Aufgabe B1.1

Aufgabe B1.2

Aufgabe B1.3

Aufgabe B1.4

Aufgabe B1.5

Aufgabe B1.6

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Themen dieser Aufgabe:

Funktionsgleichung ermitteln

Geradengleichung aufstellen

Skizze

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