Aufgabe B2.4
(4 Punkte)
Die Strecke schneidet die Strecke im Punkt und die Strecke im Punkt . Berechnen Sie die Länge der Strecke sowie den Flächeninhalt des Dreiecks .
[Ergebnisse: ; ]
Länge einer Strecke
Gegeben:
Gesucht:
Man betrachtet das Dreieck
.
Neben dem gegebenen Winkel
kann auch der Winkel
bestimmt werden.
Winkel berechnen
In einem gleichschenkligen Dreieck
sind die beiden Basiswinkel gleich groß (
).
Von der Winkelsumme
wird zunächst der Scheitelwinkel
abgezogen, wobei das doppelte Maß eines Basiswinkels (
) übrig bleibt.
Somit erhält man die Formel für den Basiswinkel:
(Basiswinkel des Dreiecks )
Zuletzt ist auch der Winkel berechenbar.
Winkelsumme im Dreieck
Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist immer gleich
.
Nun sind im Dreieck alle Innenwinkel und die Länge der Strecke gegeben.
Sinussatz
| In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt: Anders formuliert: |
Es gilt:
cm
Flächeninhalt eines Dreiecks
Gesucht:
Da die gesamte Figur aus kongruenten Teilsektoren besteht und symmetrisch ist, ist das Dreieck gleichschenklig mit den Maßen:
,
Flächeninhalt eines Dreiecks
Sind in einem beliebigem Dreieck
zwei Seiten
und
und der Winkel
, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt
des Dreiecks: