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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2012 Mathematik II Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.4  (4 Punkte)
Die Strecke [ A C ] schneidet die Strecke [ D B ] im Punkt G und die Strecke [ E B ] im Punkt F . Berechnen Sie die Länge der Strecke [ G B ] sowie den Flächeninhalt A Δ B G F des Dreiecks B G F .
[Ergebnisse: G B ¯ = 70 , 2  cm ; A Δ B G F = 1413 , 3  cm ]
 
Lösung zu Aufgabe B2.4

Länge einer Strecke
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Gegeben: β = 105 , 0

Gesucht: G B ¯

Man betrachtet das Dreieck G C B .



Neben dem gegebenen Winkel C B G = β 3 = 35 kann auch der Winkel G C B bestimmt werden.
Schritt einblenden / ausblenden
G C B = 180 - β 2 (Basiswinkel des Dreiecks A B C )

G C B = 180 - 105 2 = 37 , 5

Zuletzt ist auch der Winkel B G C berechenbar.
Schritt einblenden / ausblenden
B G C = 180 - C B G - G C B

B G C = 180 - 35 - 37 , 5 = 107 , 5
Nun sind im Dreieck G C B alle Innenwinkel und die Länge der Strecke [ B C ] gegeben.
Schritt einblenden / ausblenden
Es gilt:

B C ¯ sin B G C = G B ¯ sin G C B

110 sin 107 , 5 = G B ¯ sin 37 , 5 | sin 37 , 5

G B ¯ = 110 sin 107 , 5 sin 37 , 5 70 , 2 cm
Flächeninhalt eines Dreiecks
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Gesucht: A Δ B G F

Da die gesamte Figur aus kongruenten Teilsektoren besteht und symmetrisch ist, ist das Dreieck B G F gleichschenklig mit den Maßen:

G B F = β 3 = 35 , G B ¯ = F B ¯ = 70 , 2  cm
Schritt einblenden / ausblenden
A Δ B G F = 1 2 G B ¯ F B ¯ sin G B F

A Δ B G F = 1 2 70 , 2 70 , 2 sin 35 1413 , 3  cm 2

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