Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik Mathematik I Aufgabe A2 Aufgabe 3

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.3 (2 Punkte)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken

[M P_{n}]

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

\bar{M P_{n}} (φ) = \frac{5, 44}{\sin (φ + 65^{\circ})}

cm.

Lösung zu Aufgabe A2.3

2-dimensionale Geometrie

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Gegeben:

\bar{M B} = 6 cm

Zu beweisen:

\bar{M P_{n}} (φ) = \frac{5, 44}{\sin (φ + 65^{\circ})} cm

Sinussatz

In jedem Dreieck haben die Quotienten aus der Länge einer Seite und dem Sinuswert ihres Gegenwinkels denselben Wert. Es gilt:

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

Anders formuliert:

\frac{a}{b} = \frac{\sin α}{\sin β}

\frac{a}{c} = \frac{\sin α}{\sin γ}

\frac{b}{c} = \frac{\sin β}{\sin γ}

Im Dreieck

M P_{n} B

gilt somit:

\frac{\bar{M B}}{\sin ∡ M P_{n} B} = \frac{\bar{P_{n} B}}{\sin ∡ B M P_{n}} = \frac{\bar{M P_{n}}}{\sin ∡ P_{n} B M}

Für den Winkel

∡ M P_{n} B

gilt:

∡ M P_{n} B + ∡ B M P_{n} + ∡ P_{n} B M = 180^{\circ}

\Rightarrow

∡ M P_{n} B = 180^{\circ} - (∡ B M P_{n} + ∡ P_{n} B M)

\Rightarrow

∡ M P_{n} B = 180^{\circ} - (65^{\circ} + φ)

Aufgrund des Sinus-Satzes gilt:

\frac{\bar{M P_{n}}}{\sin (65^{\circ})} = \frac{\bar{M B}}{\sin [180^{\circ} - (65^{\circ} + φ)]}

| \cdot \sin (65^{\circ})

\bar{M P_{n}} = \frac{\bar{M B} \cdot \sin (65^{\circ})}{\sin [180^{\circ} - (65^{\circ} + φ)]}

\bar{M P_{n}} = \frac{6 cm \cdot 0, 91}{\sin [180^{\circ} - (65^{\circ} + φ)]}

\bar{M P_{n}} = \frac{5, 44 cm}{\sin [180^{\circ} - (65^{\circ} + φ)]}

Funktionswerte der Sinusfunktion

\sin (180^{\circ} - α) = \sin α

Hier:

\sin [180^{\circ} - \underset{α}{\underset{︸}{(65^{\circ} + φ)}}) = \sin (65^{\circ} + φ]

\bar{M P_{n}} = \frac{5, 44 cm}{\sin (65^{\circ} + φ)}

Erläuterung

In dem Term für

\bar{M P_{n}}

kommt die Variable

φ

vor. Somit kann

\bar{M P_{n}}

auch als Funktion von

φ

aufgefasst werden:

\bar{M P_{n}} = \bar{M P_{n}} (φ)

Somit gilt für die Länge der Strecke

[M P_{n}]

in Abhängigkeit von dem Winkel

φ

\bar{M P_{n}} (φ) = \frac{5, 44 cm}{\sin (65^{\circ} + φ)}

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Themen dieser Aufgabe:

2-dimensionale Geometrie

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