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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A2


 
Aufgabe A2.5  (3 Punkte)
Die Punkte P n sind für φ ∈ ] 0 ∘ ; 76 , 88 ∘ ] Spitzen von Pyramiden A B C P n mit den Höhen [ P n F n ] , deren Fußpunkte F n auf [ M B ] liegen. Für das Volumen der Pyramide A B C P 3 gilt: V ABCP 3 = 1 2 ⋅ V ABCS . Bestimmen Sie das zugehörige Winkelmaß φ .
 
Lösung zu Aufgabe A2.5

Volumen einer Pyramide
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Gegeben: V A B C P 3 = 1 2 ⋅ V A B C S ; S T ¯ = 2 3 ⋅ M B ¯ ⋅ tan ( 65 ∘ )

Gesucht: φ = ∡ P 3 M B

Schritt einblenden / ausblenden
P 3 F 3 ¯ = 1 2 ⋅ S T ¯ = M B ¯ 3 ⋅ tan ( 65 ∘ )

P 3 F 3 ¯ = 4 , 29  cm
Schritt einblenden / ausblenden
Winkel bestimmen
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P 3 F 3 ¯ F 3 B ¯ = tan ( 65 ∘ ) | ⋅ F 3 B ¯ tan ( 65 ∘ )

F 3 B ¯ = P 3 F 3 ¯ tan ( 65 ∘ ) = 1 3 ⋅ M B ¯ = 2  cm
M B ¯ = M F 3 ¯ + F 3 B ¯

M F 3 ¯ = M B ¯ - F 3 B ¯ = M B ¯ - M B ¯ 3 = 2 3 ⋅ M B ¯ = 4  cm
Schritt einblenden / ausblenden
P 3 F 3 ¯ M F 3 ¯ = tan ( φ )

φ = tan - 1 ( P 3 F 3 ¯ M F 3 ¯ ) = tan - 1 ( 1 2 ⋅ tan - 1 ( 65 ∘ ) ) = 47 ∘ ¯

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