Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik Mathematik I Aufgabe A3 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2013 Mathematik I Aufgabe A3

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A3.2 (2 Punkte)

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt

A

der Trapeze

A B C_{n} D

in Abhängigkeit von

φ

gilt:

A (φ) = (40 - \frac{8}{\tan φ})

^{2}

Lösung zu Aufgabe A3.2

Flächeninhalt eines Trapezes

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Gegeben:

\bar{A B} = 10 cm; \bar{A D} = 4 cm; ∡ B A D = 90^{\circ}; A_{A B C_{n} D} = A

Zu beweisen:

A (φ) = (40 - \frac{8}{\tan (φ)}) {cm}^{2}

Erläuterung

Fläche eines Trapezes

Der Flächeninhalt des Trapezes

A B C_{n} D

wird hier dargestellt als Differenz der Flächeninhalte des Rechtecks

A B E D

minus dem Dreieck

B E C_{n}

A = A_{A B E D} - A_{B E C_{n}}

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Da jedes Rechteck in zwei identische rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden kann, so ist der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks genau die Hälfte des Flächeninhalts des korrespondierenden Rechtecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

mit

a

b

als Seitenlängen des Rechtecks.

In diesem Fall ist

a = \bar{B E} = \bar{A D}

und

b = \bar{E C_{n}}

A = (\bar{A B} \cdot \bar{A D}) - (\frac{1}{2} \cdot \bar{A D} \cdot \bar{E C_{n}})

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Die Länge der Strecke

[E C_{n}]

kann also auch dargestellt werden als

\bar{E C_{n}} = \frac{\bar{A D}}{\tan (φ)}

A = (\bar{A B} \cdot \bar{A D}) - (\frac{1}{2} \cdot {\bar{A D}}^{2} \cdot \frac{1}{\tan (φ)})

A = 40 {cm}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 {cm}^{2} \cdot \frac{1}{\tan (φ)} = 40 {cm}^{2} - 8 {cm}^{2} \cdot \frac{1}{\tan (φ)}

Erläuterung

Die gefundene Formel für

A

enthält noch die Variable

φ

. Damit kann

A

auch als Funktion von

φ

betrachtet werden.

A (φ) = (40 - \frac{8}{\tan (φ)}) {cm}^{2}

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Flächeninhalt eines Trapezes

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