Mittlere-Reife-Prüfung 2015 Mathematik Mathematik I Aufgabe A2 Aufgabe 3

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2015 Mathematik I Aufgabe A2

Aufgabe A2.3 (4 Punkte)

Begründen Sie, dass die Flächeninhalte

A

aller Parallelogramme

A_{n} B C_{n} D

maßgleich sind.

Lösung zu Aufgabe A2.3

Flächeninhalt eines Vierecks

A_{n} (2 \cdot \sin φ - 4 | 3 \cdot \sin φ - 1)

;

B (- 2 | - 3)

;

D (2 | 3)

\vec{B D} = \vec{D} - \vec{B} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix})

\vec{B A_{n}} = \vec{A_{n}} - \vec{B} = (\begin{matrix} 2 \cdot \sin φ - 4 \\ 3 \cdot \sin φ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \cdot \sin φ - 2 \\ 3 \cdot \sin φ + 2 \end{matrix})

Flächeninhalt

Wird ein beliebiges Dreieck von den Vektoren

\vec{u} = (\binom{u_{1}}{u_{2}})

und

\vec{v} = (\binom{v_{1}}{v_{2}})

aufgespannt, so lässt sich der Flächeninhalt mit einer Determinante berechnen:

A = \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} |

Da in der Aufgabe der Flächeninhalt eines Vierecks gefragt ist muss der Flächeninhalt des Dreiecks doppelt genommen wereden.

\Rightarrow

A = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} u_{1} & v_{1} \\ u_{2} & v_{2} \end{matrix} |

A = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot | \begin{matrix} 4 & 2 \cdot \sin φ - 2 \\ 6 & 3 \cdot \sin φ + 2 \end{matrix} |

Determinante berechnen

| \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} | = a \cdot d - b \cdot c

A = 4 \cdot (3 \cdot \sin φ + 2) - 6 \cdot (2 \cdot \sin φ - 2)

A = 12 \cdot \sin φ + 8 - 12 \cdot \sin φ + 12

A = 20

Alle Parallelogramme

A_{n} B C_{n} D

haben unabhängig von

φ

den gleichen Flächeninhalt (20 FE).

Lösungen zu:

Aufgabe A2.1

Aufgabe A2.2

Aufgabe A2.3

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Themen dieser Aufgabe:

Flächeninhalt eines Vierecks

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