Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik Mathematik I Aufgabe B1 Aufgabe 3

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe B1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B1.3 (4 Punkte)

Punkte

A_{n} (x | 1, 5 \cdot \log_{0, 5} x)

auf dem Graphen zu

f_{2}

haben dieselbe Abszisse

x

wie Punkte

C_{n} (x | - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1))

auf dem Graphen zu

f_{1}

. Sie sind für

x > 1, 62

zusammen mit Punkten

B_{n}

und

D_{n}

die Eckpunkte von Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

.
Es gilt:

\bar{B_{n} D_{n}} = 6 LE

.
Zeichnen Sie die Rauten

A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

für

x = 2, 5

und

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

für

x = 8, 5

in das Koordinatensystem zu B 1.1 ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken

[A_{n} C_{n}]

in Abhängigkeit von der Abszisse

x

der Punkte

A_{n}

gilt:

\bar{A_{n} C_{n}} (x) = - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x^{2} - x) LE

Lösung zu Aufgabe B1.3

Skizze

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Einzeichnen

1) man geht auf der

x

-Achse zu

x = 2, 5

und dann nach oben bis man auf den Graphen der Funktion

f_{1}

stößt. Hier liegt der Punkt

C_{1}

.

2) man geht auf der

x

-Achse zu

x = 2, 5

und dann nach unten bis man auf den Graphen der Funktion

f_{2}

stößt. Hier liegt der Punkt

A_{1}

.

3) Vom Mittelpunkt der Strecke

[A_{1} C_{1}]

gehe man 3 LE nach rechts und links. Hier befinden sich die Punkte

B_{1}

und

D_{1}

.

Konstruktion der Raute

A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}

erfolgt analog.

Länge einer Strecke

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Die Strecken

[A_{n} C_{n}]

verlaufen parallel zur

y

- Achse. Es gilt:

\bar{A_{n} C_{n}} = y_{C_{n}} - y_{A_{n}}

\bar{A_{n} C_{n}} = - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1) - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} x

Ausklammern

Der Term

- 1, 5

wird ausgeklammert.

\bar{A_{n} C_{n}} = - 1, 5 \cdot (\log_{0, 5} (x - 1) + \log_{0, 5} x)

Logarithmus einer Summe

\log_{a} s + \log_{a} t = \log_{a} (s \cdot t)

\bar{A_{n} C_{n}} = - 1, 5 \cdot (\log_{0, 5} (x - 1) \cdot x)

\bar{A_{n} C_{n}} = - 1, 5 \cdot (\log_{0, 5} (x^{2} - x))

\Rightarrow

\bar{A_{n} C_{n}} = - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x^{2} - x) LE

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