Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik Mathematik I Aufgabe B1 Aufgabe 5

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe B1

Aufgabe B1.5 (2 Punkte)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte

M_{n}

der Rauten

A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}

in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte

A_{n}

gilt:

M_{n} (x | 0, 75 \cdot \log 0, 5 (\frac{x}{x - 1}))

Lösung zu Aufgabe B1.5

Koordinaten von Punkten ermitteln

Gegeben:

A_{n} (x | 1, 5 \cdot \log_{0, 5} x)

und

C_{n} (x | - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1))

Gesucht:

Diagnoalenschnittpunte

M_{n}

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt einer Strecke

[A B]

mit den Punkten

A (x_{A} | y_{A})

und

B (x_{B} | y_{B})

berechnet sich mit der Formel:

M_{[A B]} = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2} | \frac{y_{A} + y_{B}}{2})

M_{n} = (\frac{x + x}{2} | \frac{1, 5 \cdot \log_{0, 5} x - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1)}{2})

M_{n} = (\frac{2 x}{2} | \frac{1, 5 \cdot \log_{0, 5} x - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1)}{2})

M_{n} = (x | \frac{1, 5 \cdot \log_{0, 5} x - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1)}{2})

Rechenweg

Da im Term

1, 5 \cdot \log_{0, 5} x - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} (x - 1)

in beiden Summanden der Faktor

1, 5

vorkommt, wird er ausgeklammert. Somit gilt:

1, 5 \cdot \log_{0, 5} x - 1, 5 \cdot \log_{0, 5} = 1, 5 \cdot (\log_{0, 5} x - \log_{0, 5} (x - 1))

M_{n} = (x | \frac{1, 5 \cdot (\log_{0, 5} x - \log_{0, 5} (x - 1))}{2})

M_{n} = (x | 0, 75 \cdot (\log_{0, 5} x - \log_{0, 5} (x - 1)))

Logarithmus eines Quotienten

Eine Differenz von Logarithmen gleicher Basis kann auch als Logarithmus des Quotienten der Argumente ausgedrückt werden.

Beispiel:

\log (3) - \log (4) = \log (\frac{3}{4}) = - 0, 125

M_{n} = (x | 0, 75 \cdot \log_{0, 5} \frac{x}{x - 1})

Lösungen zu:

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Themen dieser Aufgabe:

Koordinaten von Punkten ermitteln

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