Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik Mathematik I Aufgabe B2 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik I Aufgabe B2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe B2.2 (3 Punkte)

Punkte

P_{n}

liegen auf der Strecke

[L C]

. Die Winkel

C K P_{n}

haben das Maß mit

φ \in] 0^{\circ}, 90^{\circ}]

. Die Punkte

P_{n}

sind zusammen mit den Punkten

B

und

D

die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke

B D P_{n}

mit der Basis

[B D]

.
Zeichnen Sie das Dreieck

B D P_{1}

sowie die Strecke

[K P_{1}]

für

φ = 78^{\circ}

in das Schrägbild zu B 2.1 ein.
Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke

B D P_{n}

gleichseitig ist.

Lösung zu Aufgabe B2.2

Skizze

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Einzeichnen des Dreiecks

B D P_{1}

sowie der Strecke

[K P_{1}]

Einzeichnen

1) Antragen des Winkels

φ = 78^{\circ}

am Punkt

K

.

2) Einzeichnen des Punktes

P_{1}

. Der Punkt

P_{1}

ergibt sich als Schnittpunkt des Schenkels des Winkel

φ

und der der Strecke

[L C]

.

3) Verbinden der Punkte

D

B

und

P_{1}

zum Dreieck

D B P_{1}

.

4) Einzeichen der Strecke

[K P_{1}]

Länge einer Strecke

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Begründung, dass keines der Dreiecke

B D P_{n}

gleichseitig ist.

Gegeben:

\bar{B D} = 10 cm

(Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks)

Falls eines der Dreiecke gleichseitig wäre dann müsste die Höhe

h = \frac{10}{2} \cdot \sqrt{3} cm \approx 8, 66 cm

betragen.

Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge

a

berechnet man mit folgender Formel:

h_{a} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot a

In unserem Fall ist die Länge der Basis

\bar{B D} = 10 cm

.
Damit ergibt sich

h = \frac{10}{2} \cdot \sqrt{3} cm

Da die Punkte

P_{n} \in [L C]

gilt:

{\bar{K P}}_{m a x} < 8 cm

Erläuterung

Die Punkte

P_{n}

hätten den größten Abstand vom Punkt

K

wenn sie mit dem Punkt

C

zusammenfallen. Da

\bar{K C} = 8 cm

ist aber

φ \neq 0^{\circ}

folgt also

{\bar{K P}}_{m a x} < 8 cm

{\bar{K P}}_{m a x} = 8 cm \neq h = \frac{10}{2} \cdot \sqrt{3} cm \approx 8, 66 cm

\Rightarrow

die Dreiecke

B D P_{n}

sind nicht gleichseitig

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