Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik Mathematik II Aufgabe A2 Aufgabe 4

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.4 (3 Punkte)

Das Dreieck

P R_{2} Q_{2}

ist die Grundfläche der Pyramide

P R_{2} Q_{2} F

.
Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide

P R_{2} Q_{2} F

am Volumen der Pyramide

A B C D S

Lösung zu Aufgabe A2.4

Volumen einer Pyramide

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Volumen Pyramide

A B C D S

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot A_{Rechteck ABCD} \cdot \bar{E S}

V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot \bar{A B} \cdot \bar{B C} \cdot \bar{E S}

V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 7 \cdot 7

V_{ABCDS} = 196 {cm}^{3}

Volumen der Pyramide

V_{P R_{2} Q_{2} F}

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Die Grundfläche

G

ist das Dreieck

P R_{2} Q_{2}

Flächeninhalt eines Dreiecks

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist stets gegeben durch:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}

h_{a}

ist die zur (Grund-)Seite

a

zugehörige Höhe.

A_{Dreieck P Q R} = \frac{1}{2} \cdot \bar{Q_{2} R_{2}} \cdot \bar{M_{2} P}

Zur Berechnung der Länge der Strecke

\bar{Q_{2} R_{2}}

wird das rechtwinklige Dreieck

P F M_{2}

betrachtet:

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

x^{2} = {\bar{P F}}^{2} + {\bar{M_{2} P}}^{2}

8, 1^{2} = 7^{2} + {\bar{M_{2} P}}^{2}

\bar{M_{2} P} = \sqrt{8, 1^{2} - 7^{2}} = 4, 08 cm

\Rightarrow

A_{Dreieck P Q_{2} R_{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2, 92 \cdot 4, 08 = 5, 96 {cm}^{2}

Somit lässt sich nun auch das Volumen der Pyramide

V_{P R_{2} Q_{2} F}

berechnen:

V_{P R_{2} Q_{2} F} = \frac{1}{3} \cdot A_{Dreieck P Q_{2} R_{2}} \cdot h

V_{P R_{2} Q_{2} F} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2, 92 \cdot 4, 08 \cdot 7

\Rightarrow

V_{P R_{2} Q_{2} F} = 13, 90 {cm}^{3}

Prozentrechnung

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Prozentualen Anteil des Volumen der Pyramide

V_{P R_{2} Q_{2} F}

am Volumens der Pyramide

V_{A B C D S}

bestimmen:

\frac{V_{P R_{2} Q_{2} F}}{V_{A B C D S}} \cdot 100 % = 7, 09 %

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

Prozentrechnung

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