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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2017 Mathematik II Aufgabe B2


 
Aufgabe B2.2  (3 Punkte)
Berechnen Sie das Maß β des Winkels C B A , das Maß ϵ des Winkels B A D und die Länge der Strecke [ A D ] .
[ Ergebnisse: β = 48 , 36 ∘ , ϵ = 41 , 64 ∘ ]
 
Lösung zu Aufgabe B2.2

Winkel bestimmen
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Gegeben: A B ¯ = 10  cm , A C ¯ = 8  cm , B C ¯ = 9 , 5  cm

Gesucht: ∡ C B A = β , ∡ B A D = ϵ und A D ¯

Der Winkel β wird mit dem Kosinussatz berechnet.
Schritt einblenden / ausblenden
A C ¯ 2 = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 - 2 ⋅ cos β ⋅ A B ¯ ⋅ B C ¯ | + 2 ⋅ cos β ⋅ A B ¯ ⋅ B C ¯

A C ¯ 2 + 2 ⋅ cos β ⋅ A B ¯ ⋅ B C ¯ = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 | - A C ¯ 2

2 ⋅ cos β ⋅ A B ¯ ⋅ B C ¯ = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 - A C ¯ 2 | : ( 2 ⋅ A B ¯ ⋅ B C ¯ )

cos β = A B ¯ 2 + B C ¯ 2 - A C ¯ 2 2 ⋅ A B ¯ ⋅ B C ¯

cos β = 10 2 + 9 , 5 2 - 8 2 2 ⋅ 10 ⋅ 9 , 5 | cos - 1

β = 48 , 36 ∘
Schritt einblenden / ausblenden
Im rechtwinkligen Dreieck A B D gilt:

ϵ = 180 ∘ - β - 90 ∘ = 180 ∘ - 48 , 36 - 90 ∘ = 41 , 64 ∘
Zur Berechnung von A D ¯ wird ebenfalls das rechtwinklige Dreieck A B D herangezogen.
Schritt einblenden / ausblenden
sin β = A D ¯ A B ¯

sin 48 , 36 ∘ = A D ¯ 10 | ⋅ 10

A D ¯ = 10 ⋅ sin 48 , 36 ∘

A D ¯ = 7 , 47  cm

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