Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik Mathematik II Aufgabe A2 Aufgabe 1

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.1 (4 Punkte)

Berechnen Sie die Länge der Diagonalen

[BD]

und den Flächeninhalt

A

des Dreiecks

BCD

[Ergbnisse: \bar{BD} = 9, 4 cm; A = 23, 9 {cm}^{2}]

Lösung zu Aufgabe A2.1

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{AB} = 7, 8 cm

;

\bar{AD} = 5, 2 cm

Gesucht:

\bar{BD}

Satz des Pythagoras

In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten

a

und

b

und der Hypotenuse

c

gilt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

In diesem Fall ist

a = \bar{AB}

b = \bar{AD}

und

c = \bar{BD}

{\bar{BD}}^{2} = {\bar{AB}}^{2} + {\bar{AD}}^{2}

{\bar{BD}}^{2} = 7, 8^{2} + 5, 2^{2}

| \sqrt{}

\bar{BD} = \sqrt{7, 8^{2} + 5, 2^{2}}

\bar{BD} = 9, 4 cm

Flächeninhalt eines Dreiecks

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Gegeben:

\bar{BD} = 9, 4 cm

und

\bar{BC} = 8, 6 cm

Gesucht: Flächeninhalt des Dreiecks

BCD

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

ABC

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \bar{BD} \cdot \bar{BC} \cdot \sin ∡ CBD

A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 9, 4 \cdot 8, 6 \cdot \sin ∡ CBD

Nun muss noch der Winkel

∡ CBD

berechnet werden.

Erläuterung

∡ CBD = ∡ CBA - ∡ DBA

Zunächst muss also der Winkel

∡ DBA

berechnet werden.

Berechnung des Winkels

∡ DBA

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan ∡ DBA = \frac{\bar{AD}}{\bar{AB}}

\tan ∡ DBA = \frac{5, 2}{7, 8}

\Rightarrow ∡ DBA = 33, 7^{\circ}

Somit ergibt sich für den Winkel

∡ CBD

∡ CBD = ∡ CBA - ∡ DBA

∡ CBD = 70^{\circ} - 33, 7^{\circ}

∡ CBD = 36, 3^{\circ}

Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks

BCD

A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 9, 4 \cdot 8, 6 \cdot \sin ∡ CBD

A_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 9, 4 \cdot 8, 6 \cdot \sin 36, 3^{\circ}

A_{BCD} = 23, 9 {cm}^{2}

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Flächeninhalt eines Dreiecks

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