Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik Mathematik II Aufgabe A2 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2018 Mathematik II Aufgabe A2

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A2.2 (2 Punkte)

Der Punkt

E

liegt auf der Strecke

[BC]

. Die Dreiecke

ABE

und

BCD

besitzen den gleichen Flächeninhalt.
Berechnen Sie die Länge der Strecke

[AE]

[Teilergbnis: \bar{BE} = 6, 5 cm; Ergebnis: \bar{AE} = 8, 3 cm]

Lösung zu Aufgabe A2.2

Länge einer Strecke

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Gegeben:

\bar{AB} = 7, 8 cm

∡ EBA = 70^{\circ}

und

A_{BCD} = 23, 9 {cm}^{2}

Gesucht:

\bar{AE}

Flächeninhalt eines Dreiecks

Sind in einem beliebigem Dreieck

ABC

zwei Seiten

a

und

b

und der Winkel

α

, der von beiden Seiten eingeschlossen wird, bekannt, so gilt für den Flächeninhalt

A

des Dreiecks:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin α

A_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot \bar{AB} \cdot \bar{BE} \cdot \sin ∡ EBA

A_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 7, 8 \cdot \bar{BE} \cdot \sin 70^{\circ}

Erläuterung

A_{BCD} = A_{ABE}

ist

A_{ABE} = 23, 9 {cm}^{2}

23, 9 = \frac{1}{2} \cdot 7, 8 \cdot \bar{BE} \cdot \sin 70^{\circ}

| : (\frac{1}{2} \cdot 7, 8 \cdot \sin 70^{\circ})

\frac{23, 9}{\frac{1}{2} \cdot 7, 8 \cdot \sin 70^{\circ}} = \bar{BE}

6, 5 = \bar{BE}

Betrachtet man nun das Dreieck

ABE

so gilt:

Kosinussatz

Sind in einem beliebigen Dreieck zwei Seiten

b

und

c

und der von diesen Seiten eingeschlossene Winkel

α

gegeben, so kann der Kosinussatz angewendet werden:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos α$

{\bar{AE}}^{2} = {\bar{AB}}^{2} + {\bar{BE}}^{2} - 2 \cdot \bar{AB} \cdot \bar{BE} \cdot \cos ∡ EBA

\bar{AE} = \sqrt{{\bar{AB}}^{2} + {\bar{BE}}^{2} - 2 \cdot \bar{AB} \cdot \bar{BE} \cdot \cos ∡ EBA}

\bar{AE} = \sqrt{7, 8^{2} + 6, 5^{2} - 2 \cdot 7, 8 \cdot 6, 5 \cdot \cos 70^{\circ}}

\Rightarrow

\bar{AE} = 8, 3 cm

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