Mittlere-Reife-Prüfung 2019 Mathematik Mathematik I Aufgabe A1 Aufgabe 2

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Lösung Mittlere-Reife-Prüfung 2019 Mathematik I Aufgabe A1

zur Angabe dieser Mittlere-Reife-Prüfungsaufgabe

Aufgabe A1.2 (2 Punkte)

Die Drachenvierecke

{AE}_{n} CD

rotieren um die Gerade

BD

.
Zeigen Sie, dass für das Volumen

V

der entstehenden Rotationskörper in Abhängigkeit von

φ

gilt:

V (φ) = \frac{8}{3} \cdot π \cdot (1 + \frac{1}{\tan (0, 5 \cdot φ)}) {cm}^{3}

Lösung zu Aufgabe A1.2

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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V_{Gesamt} = V_{oberer Kegel} + V_{unterer Kegel}

Volumen eines Kegels

Ein Kegel mit Radius

r

und Höhe

h

, hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot r^{2} \cdot π \cdot h

V_{Gesamt} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {\bar{AM}}^{2} \cdot \bar{DM} + \frac{1}{3} \cdot π \cdot {\bar{AM}}^{2} \cdot \bar{{ME}_{n}}

Ausklammern

Der Term

\frac{1}{3} \cdot π \cdot {\bar{AM}}^{2}

wird aus beiden Summanden ausgeklammert.

V_{Gesamt} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {\bar{AM}}^{2} \cdot (\bar{DM} + \bar{{ME}_{n}})

V_{Gesamt} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot (2 + \bar{{ME}_{n}})

Seite eines Dreiecks bestimmen

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Nebenrechnung:

\bar{{ME}_{n}}

bestimmen

Betrachtet wird das rechtwinklige Dreieck

E_{n} MC

Tangens eines Winkels

Der Tangens eines Winkels

α

ist ein Seitenverhältnis.

\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}

Gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

\tan \frac{φ}{2} = \frac{2}{\bar{{ME}_{n}}}

\Rightarrow

\bar{{ME}_{n}} = \frac{2}{\tan \frac{φ}{2}}

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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Einsetzen von

\bar{{ME}_{n}} = \frac{2}{\tan \frac{φ}{2}}

ergibt:

V_{Gesamt} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot (2 + \frac{2}{\tan \frac{φ}{2}})

Ausklammern

2

wird aus dem Termn

2 + \frac{2}{\tan \frac{φ}{2}}

ausgeklammert.

V_{Gesamt} = \frac{8}{3} \cdot π \cdot (1 + \frac{1}{\tan \frac{φ}{2}})

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Lösungen zu:

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Aufgabe A1.2

Aufgabe A1.3

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

Seite eines Dreiecks bestimmen

Volumen des Rotationskörpers ermitteln

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